高校数学でマスターする！ラグランジュの補間公式の完全解説と例題集
目次
ラグランジュの補間公式とは？
ラグランジュの補間公式（Lagrange interpolation formula）は、与えられた複数の点を通る多項式を構成する方法のひとつです。 例えば、3つの点 \((x_0, y_0), (x_1, y_1), (x_2, y_2)\) を通るような2次関数（または2次式）を求めたいときに、この公式が活躍します。
補間の考え方と公式の導出
補間（interpolation）とは、離散的に与えられたデータ点を「なめらかに」通る関数を作ることです。 ここでは「多項式補間」として、データ点をすべて通る多項式を考えます。
ラグランジュ補間は、以下のような関数を使って構成されます。
点 \( (x_i, y_i) \) に対応する「基底多項式」 \( L_i(x) \) を定義し、それぞれを重ね合わせて多項式 \( P(x) \) を得ます。
\( L_i(x) \) は以下のように定義されます（\( n+1 \) 個の点が与えられているとする）：
\[ L_i(x) = \prod_{\substack{0 \le j \le n \\ j \ne i}} \frac{x – x_j}{x_i – x_j} \]
これにより、補間多項式は次のように表されます：
\[ P(x) = \sum_{i=0}^n y_i L_i(x) \]
ラグランジュ補間公式の一般形
\( n+1 \) 個の点 \( (x_0, y_0), (x_1, y_1), \ldots, (x_n, y_n) \) を通る多項式 \( P(x) \) は次のように表されます：
\[ P(x) = \sum_{i=0}^{n} y_i \prod_{\substack{0 \le j \le n \\ j \ne i}} \frac{x – x_j}{x_i – x_j} \]
これを使えば、任意の点を通る多項式を一気に求めることができます。
例題1：2次関数の補間
次の3点を通る2次関数 \( P(x) \) を求めましょう：
- \( (1, 2) \)
- \( (2, 3) \)
- \( (4, 1) \)
それぞれの基底多項式を求めます。
\[ L_0(x) = \frac{(x – 2)(x – 4)}{(1 – 2)(1 – 4)} = \frac{(x – 2)(x – 4)}{(-1)(-3)} = \frac{(x – 2)(x – 4)}{3} \]
\[ L_1(x) = \frac{(x – 1)(x – 4)}{(2 – 1)(2 – 4)} = \frac{(x – 1)(x – 4)}{(1)(-2)} = -\frac{(x – 1)(x – 4)}{2} \]
\[ L_2(x) = \frac{(x – 1)(x – 2)}{(4 – 1)(4 – 2)} = \frac{(x – 1)(x – 2)}{(3)(2)} = \frac{(x – 1)(x – 2)}{6} \]
よって、補間多項式は次のようになります：
\[ P(x) = 2 \cdot L_0(x) + 3 \cdot L_1(x) + 1 \cdot L_2(x) \]
計算を展開して整理すると、多項式の形が得られます。
例題2：3点を通る多項式の構成
次の点を通る2次関数を求めましょう：
- \( (0, 1) \)
- \( (1, 0) \)
- \( (2, 3) \)
同様にして、各 \( L_i(x) \) を求めます。
\[ L_0(x) = \frac{(x – 1)(x – 2)}{(0 – 1)(0 – 2)} = \frac{(x – 1)(x – 2)}{2} \]
\[ L_1(x) = \frac{(x – 0)(x – 2)}{(1 – 0)(1 – 2)} = \frac{x(x – 2)}{-1} = -x(x – 2) \]
\[ L_2(x) = \frac{(x – 0)(x – 1)}{(2 – 0)(2 – 1)} = \frac{x(x – 1)}{2} \]
よって、
\[ P(x) = 1 \cdot L_0(x) + 0 \cdot L_1(x) + 3 \cdot L_2(x) \]
\[ P(x) = \frac{(x – 1)(x – 2)}{2} + 3 \cdot \frac{x(x – 1)}{2} \]
計算を整理すれば、2次式の形が求まります。
学習のポイントと注意点
- 公式を覚えるよりも「なぜその形になるか」を理解しましょう。
- 補間点が多くなると計算が煩雑になるため、ミスに注意。
- 基底多項式 \( L_i(x) \) の性質：\( x = x_i \) のときだけ1、それ以外は0になるように作られていることがポイントです。
- 関数の値の外挿（範囲外の予測）には注意。補間多項式は補間点の外では精度が落ちます。
まとめ
ラグランジュの補間公式は、与えられた点を通る多項式を構成するための強力な手法です。 高校数学の枠内でも、数値データから関数の形を推測する応用的な場面で非常に役立ちます。
例題を通して慣れることで、大学初級の数値解析にもスムーズに入ることができます。
