完全理解！三角関数の関係式とその証明
完全理解！三角関数の関係式とその証明
この記事では、高校数学で学ぶ三角関数の基本的な相互関係について、図や例を交えながら丁寧に解説します。それぞれの関係式の証明も紹介するので、理解を深める手助けになるはずです。
目次
三角関数の基本：sin、cos、tanとは？
三角関数とは、角度と比の関係を表す関数です。直角三角形の一辺と他の辺との比をもとに定義されます。
定義
角度 \( \theta \) を持つ直角三角形において、以下のように定義されます。
- 正弦（サイン）： \\( \sin\theta = \frac{\text{対辺}}{\text{斜辺}} \\)
- 余弦（コサイン）： \\( \cos\theta = \frac{\text{隣辺}}{\text{斜辺}} \\)
- 正接（タンジェント）： \\( \tan\theta = \frac{\text{対辺}}{\text{隣辺}} \\)
例えば、\\( \theta = 30^\circ \\) のとき、\\( \sin\theta = \frac{1}{2} \\)、\\( \cos\theta = \frac{\sqrt{3}}{2} \\)、\\( \tan\theta = \frac{1}{\sqrt{3}} \\) となります。
三角関数の相互関係：主要な関係式
三角関数には、以下のような重要な関係式があります。
基本の三角関係式
- \\( \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 \\)
- \\( 1 + \tan^2\theta = \frac{1}{\cos^2\theta} \\)
- \\( \tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} \\)
相互関係の変形形
- \\( \cos^2\theta = 1 – \sin^2\theta \\)
- \\( \sin^2\theta = 1 – \cos^2\theta \\)
- \\( \frac{1}{\sin^2\theta} = 1 + \cot^2\theta \\)（余接 \\( \cot\theta = \frac{1}{\tan\theta} \\)）
相互関係の証明（単位円の利用）
これらの関係はすべて、単位円（半径1の円）を用いることで視覚的に理解・証明できます。
単位円の定義
単位円は、原点を中心とし、半径1の円です。任意の角度 \\( \theta \\) に対して、円周上の点の座標は次のようになります：
\\[ (\cos\theta, \sin\theta) \\]
証明①：\\( \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 \\)
単位円上の点の座標が \\( (\cos\theta, \sin\theta) \\) なので、点の距離（原点からの距離）は常に1です。
距離の2乗を求めると：
\\[ \cos^2\theta + \sin^2\theta = 1 \\]
証明②：\\( \tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} \\)
定義に従えば、\\( \tan\theta \\) は次のように書き直せます：
\\[ \tan\theta = \frac{\text{対辺}}{\text{隣辺}} = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} \\]
これは直角三角形の辺の比としても理解可能です。
証明③：\\( 1 + \tan^2\theta = \frac{1}{\cos^2\theta} \\)
\\( \tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} \\) を使い、左辺を変形します：
\\[ 1 + \tan^2\theta = 1 + \left(\frac{\sin\theta}{\cos\theta}\right)^2 = \frac{\cos^2\theta + \sin^2\theta}{\cos^2\theta} = \frac{1}{\cos^2\theta} \\]
ここでも \\( \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 \\) を利用しています。
三角関数の相互関係の応用例
例題①：\\( \sin\theta = \frac{3}{5} \\) のときの \\( \cos\theta \\) を求める
\\( \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 \\) より、
\\[ \left(\frac{3}{5}\right)^2 + \cos^2\theta = 1 \Rightarrow \frac{9}{25} + \cos^2\theta = 1 \\]
\\[ \cos^2\theta = \frac{16}{25} \Rightarrow \cos\theta = \pm\frac{4}{5} \\]
符号は問題文の条件によって判断します。
例題②：\\( \tan\theta = 2 \\) のとき、\\( \sin\theta \\) を求めよ
\\( 1 + \tan^2\theta = \frac{1}{\cos^2\theta} \\) より：
\\[ 1 + 4 = \frac{1}{\cos^2\theta} \Rightarrow \cos^2\theta = \frac{1}{5} \Rightarrow \cos\theta = \pm\frac{1}{\sqrt{5}} \\]
\\[ \sin\theta = \tan\theta \cdot \cos\theta = 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}} \\]
符号は角度の象限によって判断します。
まとめと学習のポイント
- 三角関数の相互関係は、暗記するより「導けるようになる」ことが大切です。
- 単位円や直角三角形の図を常にイメージして考えると理解が深まります。
- 問題を多く解いて、関係式の使い分けに慣れましょう。
三角関数は高校数学だけでなく、物理や工学、経済学でも活躍する重要なツールです。しっかり理解しておくと、将来の学びにもつながります。
完全理解！三角関数の関係式とその証明
この記事では、高校数学で学ぶ三角関数の基本的な相互関係について、図や例を交えながら丁寧に解説します。それぞれの関係式の証明も紹介するので、理解を深める手助けになるはずです。
目次
三角関数の基本：sin、cos、tanとは？
三角関数とは、角度と比の関係を表す関数です。直角三角形の一辺と他の辺との比をもとに定義されます。
定義
角度 \( \theta \) を持つ直角三角形において、以下のように定義されます。
- 正弦（サイン）： \\( \sin\theta = \frac{\text{対辺}}{\text{斜辺}} \\)
- 余弦（コサイン）： \\( \cos\theta = \frac{\text{隣辺}}{\text{斜辺}} \\)
- 正接（タンジェント）： \\( \tan\theta = \frac{\text{対辺}}{\text{隣辺}} \\)
例えば、\\( \theta = 30^\circ \\) のとき、\\( \sin\theta = \frac{1}{2} \\)、\\( \cos\theta = \frac{\sqrt{3}}{2} \\)、\\( \tan\theta = \frac{1}{\sqrt{3}} \\) となります。
三角関数の相互関係：主要な関係式
三角関数には、以下のような重要な関係式があります。
基本の三角関係式
- \\( \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 \\)
- \\( 1 + \tan^2\theta = \frac{1}{\cos^2\theta} \\)
- \\( \tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} \\)
相互関係の変形形
- \\( \cos^2\theta = 1 – \sin^2\theta \\)
- \\( \sin^2\theta = 1 – \cos^2\theta \\)
- \\( \frac{1}{\sin^2\theta} = 1 + \cot^2\theta \\)（余接 \\( \cot\theta = \frac{1}{\tan\theta} \\)）
相互関係の証明（単位円の利用）
これらの関係はすべて、単位円（半径1の円）を用いることで視覚的に理解・証明できます。
単位円の定義
単位円は、原点を中心とし、半径1の円です。任意の角度 \\( \theta \\) に対して、円周上の点の座標は次のようになります：
\\[ (\cos\theta, \sin\theta) \\]
証明①：\\( \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 \\)
単位円上の点の座標が \\( (\cos\theta, \sin\theta) \\) なので、点の距離（原点からの距離）は常に1です。
距離の2乗を求めると：
\\[ \cos^2\theta + \sin^2\theta = 1 \\]
証明②：\\( \tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} \\)
定義に従えば、\\( \tan\theta \\) は次のように書き直せます：
\\[ \tan\theta = \frac{\text{対辺}}{\text{隣辺}} = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} \\]
これは直角三角形の辺の比としても理解可能です。
証明③：\\( 1 + \tan^2\theta = \frac{1}{\cos^2\theta} \\)
\\( \tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} \\) を使い、左辺を変形します：
\\[ 1 + \tan^2\theta = 1 + \left(\frac{\sin\theta}{\cos\theta}\right)^2 = \frac{\cos^2\theta + \sin^2\theta}{\cos^2\theta} = \frac{1}{\cos^2\theta} \\]
ここでも \\( \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 \\) を利用しています。
三角関数の相互関係の応用例
例題①：\\( \sin\theta = \frac{3}{5} \\) のときの \\( \cos\theta \\) を求める
\\( \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 \\) より、
\\[ \left(\frac{3}{5}\right)^2 + \cos^2\theta = 1 \Rightarrow \frac{9}{25} + \cos^2\theta = 1 \\]
\\[ \cos^2\theta = \frac{16}{25} \Rightarrow \cos\theta = \pm\frac{4}{5} \\]
符号は問題文の条件によって判断します。
例題②：\\( \tan\theta = 2 \\) のとき、\\( \sin\theta \\) を求めよ
\\( 1 + \tan^2\theta = \frac{1}{\cos^2\theta} \\) より：
\\[ 1 + 4 = \frac{1}{\cos^2\theta} \Rightarrow \cos^2\theta = \frac{1}{5} \Rightarrow \cos\theta = \pm\frac{1}{\sqrt{5}} \\]
\\[ \sin\theta = \tan\theta \cdot \cos\theta = 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}} \\]
符号は角度の象限によって判断します。
まとめと学習のポイント
- 三角関数の相互関係は、暗記するより「導けるようになる」ことが大切です。
- 単位円や直角三角形の図を常にイメージして考えると理解が深まります。
- 問題を多く解いて、関係式の使い分けに慣れましょう。
三角関数は高校数学だけでなく、物理や工学、経済学でも活躍する重要なツールです。しっかり理解しておくと、将来の学びにもつながります。