三角関数の微分・積分と「位相の進み・遅れ」を完全理解！
目次
1. 三角関数の基本
三角関数とは、角度に対して定義される関数で、主に sin（サイン）、cos（コサイン）、tan（タンジェント） の3つがあります。 これらは直角三角形や単位円の概念を通して定義されます。
単位円における定義：
- \(\sin \theta\)：角度 \(\theta\) に対するy座標
- \(\cos \theta\)：角度 \(\theta\) に対するx座標
- \(\tan \theta = \dfrac{\sin \theta}{\cos \theta}\)
周期性や性質：
- \(\sin\) や \(\cos\) の周期は \(2\pi\)、\(\tan\) の周期は \(\pi\)
- \(\sin(-\theta) = -\sin \theta\)、\(\cos(-\theta) = \cos \theta\)（奇関数・偶関数）
2. 三角関数の微分
三角関数の微分は、振動の変化の速さを表すときに役立ちます。以下が代表的な微分公式です：
- \(\dfrac{d}{dx} \sin x = \cos x\)
- \(\dfrac{d}{dx} \cos x = -\sin x\)
- \(\dfrac{d}{dx} \tan x = \dfrac{1}{\cos^2 x} = 1 + \tan^2 x\)
例： \(\dfrac{d}{dx} (\sin 2x)\) を求めてみましょう。
これは合成関数の微分（チェーンルール）を使います： \[ \dfrac{d}{dx} (\sin 2x) = 2 \cos 2x \]
3. 三角関数の積分
三角関数の積分は、面積や波の累積的な効果を求めるときに使います。
- \(\int \sin x \, dx = -\cos x + C\)
- \(\int \cos x \, dx = \sin x + C\)
- \(\int \sec^2 x \, dx = \tan x + C\)
例： \(\int \cos(3x) \, dx\)
積分の中身が合成関数なので、以下のようになります： \[ \int \cos(3x) \, dx = \dfrac{1}{3} \sin(3x) + C \]
4. 位相とは何か？
位相（phase）とは、波の「ずれ」を示す概念です。時間的なずれや空間的なずれを表すときに用います。
例えば、以下の2つの関数を考えてみましょう：
- \(y_1 = \sin(x)\)
- \(y_2 = \sin(x + \dfrac{\pi}{2})\)
このとき、\(y_2\) は \(y_1\) よりも \(\dfrac{\pi}{2}\) だけ左にずれている（=進んでいる）ことになります。
5. 位相の進みと遅れとは
位相の「進み」「遅れ」とは、波のタイミングが他と比べて早いか遅いかを意味します。
関数 \(f(x) = \sin(x + \phi)\) の \(\phi\) の符号によって次のように解釈できます：
- \(\phi > 0\)：位相が「進んでいる」→グラフは左にシフト
- \(\phi < 0\)：位相が「遅れている」→グラフは右にシフト
図のイメージ： （ここでは文章で代用します）
\(\sin(x)\) と \(\sin(x + \dfrac{\pi}{4})\) を比べると、後者は山や谷が少し左にあります。これが「進み」です。
6. 微分・積分と位相の関係
三角関数を微分・積分すると、位相がどう変化するかを見てみましょう。
- \(\dfrac{d}{dx} \sin x = \cos x = \sin(x + \dfrac{\pi}{2})\)
- \(\int \sin x \, dx = -\cos x = \sin(x – \dfrac{\pi}{2})\)
つまり、
- 微分すると位相が \(\dfrac{\pi}{2}\) 進む（左にずれる）
- 積分すると位相が \(\dfrac{\pi}{2}\) 遅れる（右にずれる）
この性質は信号処理や物理現象でとても重要です。
7. 実生活や物理との関係
三角関数と位相の話は、電気回路・音波・振動などあらゆる波の世界で登場します。
例1：電気回路
交流回路では電圧と電流の間に位相差があります。コイルでは電流が電圧より \(\dfrac{\pi}{2}\) 遅れ、コンデンサーでは進みます。これはまさに三角関数の積分や微分に対応します。
例2：音楽
異なる楽器の音波を重ねるとき、位相がずれているとハモリや打ち消しが生じます。
例3：機械振動
建物の耐震設計では、地震波と建物の振動との位相差が重要になります。共振を避けるには、波のタイミング（位相）を考える必要があります。
この記事では三角関数の微分・積分の基本から、位相の進み・遅れまで、高校生にもわかりやすく丁寧に解説しました。波の世界を数学で見てみると、とても奥深くて面白いですね。
