目次

• 極限とは何か？
• 極限の基本性質
• 極限の性質の具体例
• 性質の証明の考え方
• まとめ

極限とは何か？

極限（limit）とは、ある変数が特定の値に近づくときに、その関数や数列が近づく値のことです。例えば、数列 \( a_n = \frac{1}{n} \) の極限は、

\[ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0 \]

このように、\( n \) が無限大に近づくときに \( \frac{1}{n} \) が限りなく0に近づく、という性質を表します。連続関数の微分や積分、無限級数の収束判定など、解析学において極限は極めて重要な概念です。

極限の基本性質

極限には次のような基本的な性質があります。ここでは関数の極限と数列の極限を区別せず、共通の性質として紹介します。

1. 加法性： 極限は加算に関して分配されます。 \[ \lim_{x \to a} (f(x) + g(x)) = \lim_{x \to a} f(x) + \lim_{x \to a} g(x) \]
2. 減法性： \[ \lim_{x \to a} (f(x) – g(x)) = \lim_{x \to a} f(x) – \lim_{x \to a} g(x) \]
3. 定数倍： \[ \lim_{x \to a} (c \cdot f(x)) = c \cdot \lim_{x \to a} f(x) \]
4. 乗法性： \[ \lim_{x \to a} (f(x) \cdot g(x)) = \left( \lim_{x \to a} f(x) \right) \cdot \left( \lim_{x \to a} g(x) \right) \]
5. 除法性： \[ \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x \to a} f(x)}{\lim_{x \to a} g(x)} \quad (g(x) \neq 0) \]
6. 絶対値： \[ \lim_{x \to a} |f(x)| = |\lim_{x \to a} f(x)| \]

極限の性質の具体例

例1：加法性の確認

関数 \( f(x) = x^2 \)、\( g(x) = 3x \) として、\( x \to 2 \) のときの極限を求めましょう。

\[ \lim_{x \to 2} (x^2 + 3x) = \lim_{x \to 2} x^2 + \lim_{x \to 2} 3x = 4 + 6 = 10 \]

例2：除法性の注意点

\[ \lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin x} \] この極限は直接代入では不定形 \( \frac{0}{0} \) となるため、性質を使えません。ただし、テイラー展開を用いて評価できます：

\[ \sin x \approx x – \frac{x^3}{6} + \cdots \Rightarrow \frac{x}{\sin x} \approx \frac{x}{x – \frac{x^3}{6}} \to 1 \]

例3：数列の極限

数列 \( a_n = \frac{2n^2 + 3}{5n^2 + 1} \) の極限は以下のように計算できます。

\[ \lim_{n \to \infty} \frac{2n^2 + 3}{5n^2 + 1} = \lim_{n \to \infty} \frac{2 + \frac{3}{n^2}}{5 + \frac{1}{n^2}} = \frac{2}{5} \]

例4：発散の例

\[ \lim_{n \to \infty} n = \infty \] この場合、極限は有限の値に収束しないため、「発散する」と言います。

性質の証明の考え方

加法性の証明（概要）

定義に基づく証明を紹介します。関数 \( f(x), g(x) \) がそれぞれ \( a \) において極限 \( A, B \) に収束するとしましょう。つまり、任意の \( \varepsilon > 0 \) に対して、

\[ \exists \delta_1 > 0, \forall x,\ 0 < |x - a| < \delta_1 \Rightarrow |f(x) - A| < \frac{\varepsilon}{2} \] \[ \exists \delta_2 > 0, \forall x,\ 0 < |x - a| < \delta_2 \Rightarrow |g(x) - B| < \frac{\varepsilon}{2} \]

このとき、\( \delta = \min(\delta_1, \delta_2) \) をとると、

\[ |f(x) + g(x) – (A + B)| \leq |f(x) – A| + |g(x) – B| < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon \]

よって、\( \lim_{x \to a} (f(x) + g(x)) = A + B \) が成り立ちます。

まとめ

極限の性質は微分積分学の基礎となる重要なルールです。特に、加法性・乗法性・定数倍といった線形性の性質は、複雑な関数の極限を簡単な関数の極限に分解して求める際に非常に有効です。

また、極限の厳密な定義（ε-δ論法）を用いた証明を理解することで、より深い数学的思考力が身に付きます。特に大学入試や大学初年次の解析学では避けて通れない分野なので、例題を通じて繰り返し練習するとよいでしょう。