広義積分とは？定義・判定法・具体例まで解説
目次
広義積分とは
広義積分（improper integral）とは、通常の定積分では定義できないような状況、たとえば積分区間が無限であったり、被積分関数が区間内で発散するような場合にも積分を拡張して定義する手法です。
一般的な定積分は、区間 \([a, b]\) 上で連続な関数 \( f(x) \) に対して \[ \int_a^b f(x)\,dx \] と定義されます。しかし、次のような状況では通常の積分がそのままでは定義できません：
- 積分区間が \([a, \infty)\) や \((-\infty, b]\) など無限である場合
- 区間内のある点で関数 \( f(x) \) が発散する場合（たとえば \( f(x) = \frac{1}{x} \) を \( x=0 \) 付近で積分する）
無限区間における広義積分
積分区間の端点が無限の場合、次のように極限を用いて定義されます：
\[ \int_a^{\infty} f(x)\,dx = \lim_{t \to \infty} \int_a^t f(x)\,dx \]
この極限が存在すれば、その広義積分は「収束する」と言い、存在しなければ「発散する」と言います。
同様に、 \[ \int_{-\infty}^b f(x)\,dx = \lim_{t \to -\infty} \int_t^b f(x)\,dx \] \[ \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = \int_{-\infty}^0 f(x)\,dx + \int_0^{\infty} f(x)\,dx \] というように定義します。右辺の各項が収束する必要があります。
被積分関数が発散する場合
積分区間内において、被積分関数が発散する点（たとえば \( x=a \) や \( x=b \)）がある場合は、次のように極限で定義します：
\[ \int_a^b f(x)\,dx = \lim_{\varepsilon \to 0+} \int_{a+\varepsilon}^b f(x)\,dx \]
また、例えば \( f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} \) を区間 \([0,1]\) で積分する場合、\( x=0 \) で発散するため次のように定義されます：
\[ \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx = \lim_{\varepsilon \to 0+} \int_{\varepsilon}^1 \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx \]
広義積分の収束の判定法
広義積分が収束するかどうかを判断する方法はいくつかあります。代表的なものは以下の通りです：
- 比較判定法
- 極限比較判定法
- 積分判定法（関数の形が分かりやすい場合）
比較判定法
比較判定法とは、ある関数 \( f(x) \) と、積分収束・発散が既に分かっている別の関数 \( g(x) \) を比較することで \( f(x) \) の積分の収束を判定する手法です。
たとえば：
- もし \( 0 \leq f(x) \leq g(x) \) かつ \( \int_a^\infty g(x)\,dx \) が収束するなら、\( \int_a^\infty f(x)\,dx \) も収束する。
- 逆に \( f(x) \geq g(x) \geq 0 \) で \( \int_a^\infty g(x)\,dx \) が発散するなら、\( \int_a^\infty f(x)\,dx \) も発散する。
このように、収束・発散が明らかな関数との大小関係を用いることで、広義積分の挙動を推測することができます。
具体例
例1：指数関数
\[ \int_1^\infty \frac{1}{x^2}\,dx = \lim_{t \to \infty} \int_1^t \frac{1}{x^2}\,dx = \lim_{t \to \infty} \left[-\frac{1}{x}\right]_1^t = 1 \] よって収束します。
例2：発散する積分
\[ \int_1^\infty \frac{1}{x}\,dx = \lim_{t \to \infty} \ln t = \infty \] よって発散します。
例3：区間内で発散する場合
\[ \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx = \lim_{\varepsilon \to 0+} \int_\varepsilon^1 \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx = 2 \] よって収束します。
例4：無限区間と特異点の両方を含む例
\[ \int_0^\infty \frac{1}{x^p}\,dx \] この積分は
- \( 0 < p < 1 \) のとき、0付近で発散（上限は収束）
- \( 1 < p \) のとき、無限大で収束（下限は発散）
- \( p=1 \) のとき、両方で発散
まとめ
広義積分は、定積分の枠組みを超えて、無限や特異点を含む関数の積分を扱うための重要な手法です。収束の判定には、比較判定法や極限の扱いなど解析的な知識が必要となりますが、これらを使いこなすことで多くの関数の積分可能性を理解することができます。
数学・物理・工学などあらゆる応用において、広義積分は非常に重要な役割を果たします。基本から丁寧に理解し、多くの例題に触れることで自然と感覚が身についていきます。
