ガウスの収束判定法を解説
目次
ガウスの収束判定法とは？
ガウスの収束判定法（Gauss’s Test for Convergence）は、無限級数 \[ \sum_{n=1}^{\infty} a_n \] の収束を調べるための方法の一つで、特に \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} \] が \( n \) に関して漸近展開できるような場合に有効です。
この方法は、比の判定法やルート判定法では判断が難しいような、より精緻な漸近挙動を持つ級数に対して有効で、無限級数の高精度な収束判定を行う手段として知られています。
理論的背景と定式化
ガウスの収束判定法は、次のように定式化されます。数列 \( \{a_n\} \) が正であり、次のような漸近展開が存在するとします： \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = 1 – \frac{A}{n} + \frac{B}{n^2} + o\left(\frac{1}{n^2}\right), \quad (n \to \infty) \] このとき、
- \( A > 1 \) ならば級数 \( \sum a_n \) は収束する。
- \( A \leq 1 \) ならば級数 \( \sum a_n \) は発散する。
これは、一般項の比が1に近づくような場合でも、その近づき方（1への収束速度）によって収束の有無が決定されることを意味します。
具体例による理解
以下にいくつかの代表的な例を示します。
例1：調和級数との比較
\[ a_n = \frac{1}{n} \] のとき、これは調和級数で知られており、発散する。比は次のようになる： \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{n}{n+1} = 1 – \frac{1}{n} + \frac{1}{n^2} – \cdots \] よって、\( A = 1 \) となり、ガウスの判定法によりこの級数は発散と判定される。
例2：p級数
\[ a_n = \frac{1}{n^p} \quad (p > 1) \] に対して、 \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \left(\frac{n}{n+1}\right)^p = 1 – \frac{p}{n} + \frac{p(p+1)}{2n^2} + o\left(\frac{1}{n^2}\right) \] よって、\( A = p > 1 \) となり、級数は収束する。
例3：対数項を含む級数
\[ a_n = \frac{1}{n \log n}, \quad (n \geq 2) \] このとき、 \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{n \log n}{(n+1)\log(n+1)} = 1 – \frac{1}{n} + \frac{1 – \log n}{n \log n} + o\left(\frac{1}{n \log n}\right) \] よって \( A = 1 \)、この場合もガウスの判定法では発散と結論される。
例4：ガウス自身が示した例
\[ a_n = \frac{1}{n (\log n)^p}, \quad (p > 1, \ n \geq 2) \] のとき、先ほどの例より \( A = 1 \) に近いが、対数の影響で収束する。この場合は、ガウスの判定法単独では判定が困難で、補助的な比較判定法が必要になることもある。
他の収束判定法との比較
ガウスの収束判定法は以下のような他の判定法と比較されます：
- 比の判定法： \( \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} < 1 \) であれば収束だが、比が1に近づく場合には適用不可。
- ルート判定法： \( \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} < 1 \) であれば収束だが、根号の評価が難しい場合には不便。
- 積分判定法： 単調減少関数への帰着が必要で、漸近展開を直接使えない場合がある。
これらと比べて、ガウスの判定法は漸近挙動に基づくため、級数がどの程度の速さで減少しているかに関して非常に敏感であり、きめ細かい判定が可能です。
まとめ
ガウスの収束判定法は、無限級数の収束を判定するための強力なツールです。特に、一般的な比の判定法では判定できないような微妙なケースにおいてその真価を発揮します。
重要なポイントは、\( \frac{a_{n+1}}{a_n} \) の漸近展開から係数 \( A \) を求め、その大小により収束・発散を判断することです。複雑な級数にも対応可能なこの方法を、解析学の学習の中でぜひマスターしておきたいところです。
