重積分における変数変換のテクニック
\[ \iint_D f(x, y)\,dx\,dy = \iint_{D'} f(x(u,v), y(u,v)) \left| \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} \right| \,du\,dv \]
ここで、ヤコビアンは次のように定義されます：
\[ \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} = \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{vmatrix} \]
絶対値を取る理由は、変換によって面積が反転する（符号が変わる）場合にも対応するためです。
ヤコビアンの計算方法
以下はヤコビアンの計算ステップです：
- 変換式 \( x = x(u,v), y = y(u,v) \) を明示する
- 偏微分を行い、ヤコビ行列を作る
- 行列式（2次、3次）を計算する
- 積分の式に絶対値をかけて代入する
例：
変換 \( x = uv, y = u+v \) に対して、ヤコビアンを求める：
\[ \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} = \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} v & u \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = v - u \]
極座標・円柱座標・球座標による変換
対称性のある領域では、以下の座標変換が有効です。
極座標変換（2次元）
\[ x = r \cos\theta,\quad y = r \sin\theta,\quad r \ge 0,\quad 0 \le \theta \le 2\pi \] ヤコビアン： \[ \left| \frac{\partial(x,y)}{\partial(r,\theta)} \right| = r \]
円柱座標（3次元）
\[ x = r \cos\theta,\quad y = r \sin\theta,\quad z = z \] ヤコビアン： \[ \left| \frac{\partial(x,y,z)}{\partial(r,\theta,z)} \right| = r \]
球座標（3次元）
\[ x = \rho \sin\phi \cos\theta,\quad y = \rho \sin\phi \sin\theta,\quad z = \rho \cos\phi \] ヤコビアン： \[ \left| \frac{\partial(x,y,z)}{\partial(\rho,\phi,\theta)} \right| = \rho^2 \sin\phi \]
例題1：極座標変換
問題：次の重積分を極座標で計算せよ。
\[ \iint_D (x^2 + y^2)\,dx\,dy,\quad D: x^2 + y^2 \le 1 \]
解答：
変数変換 \( x = r \cos\theta,\ y = r \sin\theta \)、領域 \( 0 \le r \le 1,\ 0 \le \theta \le 2\pi \)
\[ \iint_D (x^2 + y^2)\,dx\,dy = \int_0^{2\pi} \int_0^1 r^2 \cdot r\,dr\,d\theta = \int_0^{2\pi} \int_0^1 r^3\,dr\,d\theta = \int_0^{2\pi} \left[\frac{1}{4}r^4\right]_0^1 d\theta = \frac{1}{4} \cdot 2\pi = \frac{\pi}{2} \]
例題2：三次元の球領域の積分
問題：次の三重積分を球座標で計算せよ。
\[ \iiint_W (x^2 + y^2 + z^2)\,dx\,dy\,dz,\quad W: x^2 + y^2 + z^2 \le 1 \]
球座標で変換すると \( x^2 + y^2 + z^2 = \rho^2 \) となるので：
\[ \iiint_W \rho^2 \cdot \rho^2 \sin\phi \,d\rho\,d\phi\,d\theta = \int_0^{2\pi} \int_0^{\pi} \int_0^1 \rho^4 \sin\phi \,d\rho\,d\phi\,d\theta \]
\[ = \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^{\pi} \sin\phi\,d\phi \int_0^1 \rho^4\,d\rho = (2\pi)(2)(\frac{1}{5}) = \frac{4\pi}{5} \]
まとめ
- 変数変換によって重積分の計算は劇的に簡単になる
- ヤコビアンは面積・体積の補正項として必須
- 対称性のある領域では、極座標・円柱座標・球座標が有効
- 変換の成功は「変換の設計」にかかっている
重積分の変数変換は、理解すれば応用範囲が広く、解析だけでなく物理・工学にも多く登場します。例題を繰り返し解くことで、自然と身につくようになります。
