必要条件と十分条件

必要条件

ある事柄を成立させるためには、必ずしも他の事柄が成立していなければならない場合、その成立のために必要な条件と呼びます。

例えば、自転車に乗るためには、自転車が必要です。このように、ある事柄を実現するために必要な条件を示す場合に「必要条件」と言います。

十分条件

ある事柄が成立するために必要な条件が満たされている場合、それだけでその事柄が成立する場合、その条件を「十分条件」と言います。

例えば、数\(x\)が正の数であるための必要十分条件は、\(x>0\)となります。

数式で表すと、

数\(x\)が正の数であるための必要条件: \(x>0\)

数\(x\)が正の数であるための十分条件: \(x>0\)

命題の逆、裏、対偶

命題の逆

ある命題が「\(P\)ならば\(Q\)」という形で表されている場合、「\(Q\)ならば\(P\)」という形に言い換えたものを「命題の逆」と言います。つまり、条件部と結論部を逆にした命題です。

例えば、「もし今日が晴れならばピクニックに行く」という命題が「ピクニックに行くならば今日は晴れている」という命題に言い換えられます。

「三角形\(ABC\)が直角三角形であるならば、辺\(AB\)の中点\(D\)を通る垂線\(DE\)は辺\(BC\)に垂直である」という命題が与えられたとします。この場合、条件部は「三角形\(ABC\)が直角三角形である」となり、結論部は「辺\(AB\)の中点\(D\)を通る垂線\(DE\)は辺\(BC\)に垂直である」となります。この命題の逆は、「辺\(AB\)の中点\(D\)を通る垂線\(DE\)は辺\(BC\)に垂直であるならば、三角形\(ABC\)は直角三角形である」となります。

命題の裏

ある命題が「\(P\)ならば\(Q\)」という形で表されている場合、「\(P\)でなければ\(Q\)でない」という形に言い換えたものを「命題の裏」と言います。つまり、条件部と結論部を否定した命題です。

例えば、「もし今日が晴れならばピクニックに行く」という命題が「もし今日が雨ならばピクニックに行かない」という命題に言い換えられます。

前述の命題「三角形ABCが直角三角形であるならば、辺ABの中点Dを通る垂線DEは辺BCに垂直である」という命題の裏は、「三角形ABCが直角三角形でなければ、辺ABの中点Dを通る垂線DEは辺BCに垂直でない」となります。

命題の対偶

ある命題が「\(P\)ならば\(Q\)」という形で表されている場合、「\(Q\)でなければ\(P\)でない」という形に言い換えたものを「命題の対偶」と言います。つまり、条件部と結論部を否定し、逆にした命題です。

例えば、「もし今日が晴れならばピクニックに行く」という命題が「もしピクニックに行かないならば今日は雨である」という命題に言い換えられます。

数学の証明においては、命題を証明する際に、元の命題の真偽を保ったまま、証明をしやすくするために、対偶を用いることがあります。具体的には、元の命題が「\(P\)ならば\(Q\)である」という形式の場合、\(P\)が成り立たない場合に、対偶を用いて証明をすることがあります。 以下に例を挙げます。元の命題が「\(x\)が偶数ならば\(x^2\)は偶数である」という場合、これを対偶にすると、「\(x^2\)が奇数ならば\(x\)は奇数である」となります。この場合、元の命題と対偶が同値であるため、元の命題が真であることと、対偶が真であることは同値です。 つまり、「\(x\)が偶数ならば\(x^2\)は偶数である」という命題が真である場合、対偶の「\(x^2\)が奇数ならば\(x\)は奇数である」という命題も真であることが保証されます。