集合論は、数学の一分野で、集合と呼ばれるオブジェクトの性質や関係を研究する学問です。

集合とは、ある規則に従ってまとめられたオブジェクトの集まりです。例えば、果物の集合を考えると、りんご、バナナ、オレンジ、キウイなどが含まれる集合を考えることができます。

集合論では、集合の構成や演算、集合同士の関係などを研究します。

集合と要素の表し方

以下は、集合Aと集合Bを表現する例です。

$$ A = \{ 1, 2, 3 \} $$

$$ B = \{ 2, 3, 4 \} $$

要素xが集合Aに属することを表す数式は、次のように表現します。

$$ x \in A $$

要素\(y\)が集合\(A\)に属さないことを表す数式は、次のように表現します。

$$ y \notin A $$

集合\(A\)の要素\(x\)で、\(x\)が3未満であるものから成る集合を表す数式は、次のように表現します。

$$ C = \{ x \in A \mid x < 3 \} $$

有限集合について

有限集合とは

要素の数が有限である集合を、有限集合といいます。

たとえば、$$ A = \{1,2,3\} $$という集合は、要素の数が3つであるので、有限集合になります。

有限集合の表現方法

有限集合は、中かっこ「{ }」で囲んで、要素をカンマ「,」で区切って表現します。

たとえば、$$ A = \{1,2,3\} $$という有限集合は、このように表現します。

有限集合の性質

2つの有限集合$A$と$B$について、和集合$A\cup B$は、$A$に含まれるすべての要素と、$B$に含まれるすべての要素を集めた集合になります。

また、積集合$A\cap B$は、$A$にも含まれ、かつ$B$にも含まれる要素だけからなる集合になります。

例えば、$A=\{1,2,3\}$、$B=\{2,3,4\}$という2つの有限集合があったとき、和集合$A\cup B$は、$$ A\cup B = \{1,2,3,4\} $$となります。

また、積集合$A\cap B$は、$$ A\cap B = \{2,3\} $$となります。

無限集合について

無限集合とは

要素の数が無限に多い集合を、無限集合といいます。

たとえば、自然数全体の集合$$ \mathbb{N} = \{1, 2, 3, \ldots\} $$は、要素数が無限に多いので、無限集合になります。

無限集合の表現方法

無限集合は、全部の要素を列挙することができないため、一般的に以下のように表現されます。

$$ A = \{a_1, a_2, a_3, \ldots\} $$

無限集合の性質

無限集合には、要素の数が有限である有限集合にはない性質があります。

• 有限集合よりも要素数が多いため、$A$の部分集合$B$には、$A$に含まれない要素が存在することがあります。
• 有限集合と異なり、無限集合は元がなくなることがありません。つまり、$A$の任意の要素$a$に対して、$a+1$という要素が存在します。

たとえば、自然数全体の集合$$ \mathbb{N} = \{1, 2, 3, \ldots\} $$は、要素の数が無限に多く、$A = \{2, 4, 6, \ldots\}$は、$2$で割り切れる自然数全体の集合というように、部分集合を作ることができます。

部分集合について

部分集合とは

ある集合$A$の中で、いくつかの要素を選んで作った集合を、$A$の部分集合といいます。

たとえば、自然数全体の集合$$ \mathbb{N} = \{1, 2, 3, \ldots\} $$の部分集合として、$$ A = \{2, 4, 6, 8\} $$ や、$$ B = \{1, 3, 5, 7, \ldots\} $$ が考えられます。

部分集合の表現方法

部分集合は、以下のように表現されます。

$$ B \subseteq A $$

これは、部分集合\(B\)が集合\(A\)に含まれていることを示します。

部分集合の性質

部分集合には、以下のような性質があります。

• 空集合は、どの集合の部分集合でもあります。
• 任意の集合\(A\)は、自分自身の部分集合になります。
• 有限集合\(A\)の部分集合の数は、\(2^{|A|}\)個になります。ここで、\(|A|\)は、集合\(A\)の要素の数を表します。

たとえば、自然数全体の集合$$ \mathbb{N} = \{1, 2, 3, \ldots\} $$の部分集合は、空集合\(\varnothing\)や、$$ A = \{2, 4, 6, 8\} $$ $$ B = \{1, 3, 5, 7, \ldots\} $$ のほか、$$ C = \{1\} $$ $$ D = \{1, 2\} $$ $$ E = \{1, 2, 3\} $$ など、たくさん存在します。

部分集合について

部分集合とは

ある集合\(A\)の中で、いくつかの要素を選んで作った集合を、\(A\)の部分集合といいます。

たとえば、自然数全体の集合$$ \mathbb{N} = \{1, 2, 3, \ldots\} $$の部分集合として、$$ A = \{2, 4, 6, 8\} $$ や、$$ B = \{1, 3, 5, 7, \ldots\} $$ が考えられます。

部分集合の表現方法

部分集合は、以下のように表現されます。

$$ B \subseteq A $$

これは、部分集合\(B\)が集合\(A\)に含まれていることを示します。

部分集合の性質

部分集合には、以下のような性質があります。

• 空集合は、どの集合の部分集合でもあります。
• 任意の集合\(A\)は、自分自身の部分集合になります。
• 有限集合\(A\)の部分集合の数は、\(2^{|A|}\)個になります。ここで、\(|A|\)は、集合\(A\)の要素の数を表します。

たとえば、自然数全体の集合$$ \mathbb{N} = \{1, 2, 3, \ldots\} $$の部分集合は、空集合\(\varnothing\)や、$$ A = \{2, 4, 6, 8\} $$ $$ B = \{1, 3, 5, 7, \ldots\} $$ のほか、$$ C = \{1\} $$ $$ D = \{1, 2\} $$ $$ E = \{1, 2, 3\} $$ など、たくさん存在します。

集合の共通部分について

集合の共通部分とは

ある複数の集合の中で、すべてに共通して含まれる要素の集まりを、それらの集合の共通部分といいます。

たとえば、集合\(A=\{1,2,3\}\)と集合\(B=\{2,3,4\}\)があるとき、\(A\)と\(B\)の共通部分は、$$ A \cap B = \{2,3\} $$ となります。

共通部分の表現方法

共通部分は、以下のように表現されます。

$$ A \cap B $$

これは、集合\(A\)と集合\(B\)の共通部分を表します。

共通部分の性質

共通部分には、以下のような性質があります。

• 集合の共通部分は、元の集合よりも小さくなります。
• 空集合\(\varnothing\)は、どの集合とも共通部分を持ちます。
• 任意の集合\(A\)は、自分自身との共通部分を持ちます。

たとえば、集合\(A=\{1,2,3\}\)と集合\(B=\{2,3,4\}\)の場合、\(A\)と\(B\)の共通部分は、$$ A \cap B = \{2,3\} $$ となります。また、集合\(A=\{1,2,3\}\)と集合\(C=\{4,5,6\}\)の場合、\(A\)と\(C\)の共通部分は、空集合\(\varnothing\)となります。

集合の和集合について

集合の和集合とは

ある複数の集合の中で、いずれかの集合に含まれる要素の集まりを、それらの集合の和集合といいます。

たとえば、集合\(A=\{1,2,3\}\)と集合\(B=\{2,3,4\}\)があるとき、\(A\)と\(B\)の和集合は、$$ A \cup B = \{1,2,3,4\} $$ となります。

和集合の表現方法

和集合は、以下のように表現されます。

$$ A \cup B $$

これは、集合\(A\)と集合\(B\)の和集合を表します。

和集合の性質

和集合には、以下のような性質があります。

• 集合の和集合は、元の集合よりも大きくなる場合があります。
• 空集合\(\varnothing\)は、どの集合とも和集合を持ちます。
• 任意の集合\(A\)は、自分自身との和集合を持ちます。

たとえば、集合\(A=\{1,2,3\}\)と集合\(B=\{2,3,4\}\)の場合、\(A\)と\(B\)の和集合は、$$ A \cup B = \{1,2,3,4\} $$ となります。また、集合\(A=\{1,2,3\}\)と集合\(C=\varnothing\)の場合、\(A\)と\(C\)の和集合は、集合\(A\)そのものとなります。

全体集合と補集合について

全体集合とは

ある問題や条件に対して、考えられるすべての要素の集合のことを、全体集合といいます。

たとえば、ある数学の問題で、対象となる数の集合が「1以上10以下の整数全体」という条件である場合、全体集合は、$$ U = \{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\} $$ となります。

全体集合の表現方法

全体集合は、以下のように表現されます。

$$ U $$

これは、全体集合を表します。

補集合とは

ある集合\(A\)に含まれない、全体集合\(U\)に含まれる要素の集まりを、集合\(A\)の補集合といいます。

たとえば、集合\(A=\{2,4,6,8,10\}\)がある場合、その補集合\(A’\)は、$$ A’ = U \setminus A = \{1,3,5,7,9\} $$ となります。

補集合の表現方法

補集合は、以下のように表現されます。

$$ A’ $$

これは、集合\(A\)の補集合を表します。

補集合の性質

補集合には、以下のような性質があります。

• ある集合\(A\)と全体集合$U$の補集合\(A’\)の和集合は、全体集合\(U\)と一致します。
• ある集合\(A\)とその補集合\(A’\)の共通部分は、空集合\(\varnothing\)と一致します。

たとえば、集合\(A=\{2,4,6,8,10\}\)がある場合、その補集合\(A’\)は、$$ A’ = U \setminus A = \{

全体集合と補集合について

集合とは、ある条件を満たすものの集まりです。全体集合とは、「ある条件を満たすすべてのものの集まり」のことで、例えば自然数全体の集合や平面直角座標系上のすべての点の集合などがあります。全体集合はしばしば $U$ で表されます。

一方、ある集合 \(A\) の補集合とは、全体集合 \(U\) のうち、\(A\) に含まれないもの全体の集合のことを指します。補集合は \(A\) の上に線を引いた記号で表されます。すなわち、

$$ A’ = U \setminus A $$

例えば、集合 \(A=\{1, 2, 3\}\) があるとき、\(U\) が自然数全体の集合であれば、補集合 \(A’\) は \(A’=\{4, 5, 6, \ldots\}\) となります。

ド・モルガンの法則とは、2つの集合の論理的な否定の関係を表す法則です。

例えば、集合\(A\)と集合\(B\)があるとき、次のように表されます。

これは、集合\(A\)または集合\(B\)に含まれる要素ではない、つまり両方の集合に含まれない要素の集合と、集合\(A\)と集合\(B\)に含まれない要素の集合の積集合が等しいことを意味しています。