背理法について

背理法とは、ある命題を証明するために、その命題が成立しないと仮定して、その仮定が導く矛盾を利用して、元の命題が成立することを示す方法です。

背理法は、直接証明が難しい命題や、逆に証明する命題の場合に使われます。背理法では、以下の手順で証明を行います。

1. 仮定を設定する。ある命題を証明するために、その命題が成立しないと仮定します。
2. 矛盾を導く。仮定から導かれる結論が、既知の真実と矛盾することを示します。
3. 元の命題が成立することを示す。仮定が矛盾することから、元の命題が成立することが示されます。

以下に、背理法を用いた例を示します。例えば、次のような命題を考えます。

「整数nが奇数ならば、n²も奇数である。」

これを背理法で証明する場合、以下のように行います。

1. 「整数nが奇数であり、n²が偶数である」と仮定する。
2. nが奇数であるため、n = 2k + 1と表すことができる。
3. n² = (2k + 1)² = 4k² + 4k + 1 = 2(2k² + 2k) + 1となり、n²も奇数であることが示される。
4. 仮定により、n²は偶数であると仮定していたため、矛盾が導かれる。
5. よって、元の命題「整数nが奇数ならば、n²も奇数である」と成立することが示される。

以上が、背理法の基本的な考え方と手順です。背理法を用いることで、命題の証明が可能になる場合があります。

背理法を用いて、$\sqrt{3}$ が有理数である場合に矛盾が導かれることを示します。

つまり、$\sqrt{3}$ が有理数であると仮定し、その仮定から導かれる矛盾を示します。

1. 仮定：$\sqrt{3}$ は有理数であると仮定する。
2. 有理数とは、分数で表すことができる数のことです。$\sqrt{3}$ を分数で表すと仮定すると、$\sqrt{3} = \frac{a}{b}$ となるような整数 $a$ と $b$ が存在します。
3. このとき、$a$ と $b$ は互いに素ではないと仮定します。つまり、$a$ と $b$ に共通する素因数 $p$ が存在するとします。
4. $\sqrt{3} = \frac{a}{b}$ を両辺2乗すると、$3 = \frac{a^2}{b^2}$ となります。
5. 両辺に $b^2$ を掛けると、$3b^2 = a^2$ となります。
6. $a$ と $b$ に共通する素因数 $p$ が存在するため、$a$ と $b$ を $p$ で割った余りをそれぞれ $a’$ と $b’$ とします。
7. $a = pa’, b = pb’$ と表せるので、$a^2 = p^2a’^2, b^2 = p^2b’^2$ となります。
8. 先ほどの式に代入すると、$3p^2b’^2 = p^2a’^2$ となります。
9. 両辺を $p^2$ で割ると、$3b’^2 = a’^2$ となります。
10. このとき、$a’$ と $b’$ にも共通する素因数 $p$ が存在するため、仮定に矛盾します。
11. よって、$\sqrt{3}$ は有理数ではなく、無理数であることが示されました。