1. 式の計算

1.1 整式

整式とは、数の積や和の形で表される多項式のことです。具体的には、以下のような式が整式の例として挙げられます。

$$f(x) = 2x^3 + 5x^2 – 3x + 7$$

この式は、\(x\)の3乗から0乗までの各項の係数を表し、それらを足し合わせたものとなっています。ここで、\(x\)を変数、各項の係数を定数と呼びます。

また、整式は、加法、減法、乗法、除法などの演算が可能であり、その演算結果もまた整式となります。このため、多くの数学的な問題や理論で利用される重要な概念の一つです。

例えば、以下の式も整式の一つです。

$$g(x) = 5x^4 – 2x^2 + 1$$

1.1.1 単項式と多項式

単項式とは、変数のべき乗と係数の積で表される式のことを指します。例えば以下のような式が単項式の例です。

$$ 5x^2 \\ -2y \\ z^3 $$

このような単項式は、変数に対して一つのべき乗のみを含んでおり、係数と変数の積になっています。また、定数は単項式の特別な場合として扱われます。

多項式とは、単項式を足し合わせたものである式のことを指します。例えば以下のような式が多項式の例です。

$$ 5x^2 – 2y + z^3 \\ x^3 + 2x^2 – 3x + 7 $$

このような多項式は、複数の単項式を含んでいます。多項式は加法、減法、乗法、除法の演算が可能であり、代数学や数学の応用分野で広く利用されます。

演習問題

単項式と多項式に関する問題

問題 1

以下の式が単項式であるか、多項式であるか答えなさい。

$$2x^2y^3z^4$$

解答：単項式です。

問題 2

以下の式が単項式であるか、多項式であるか答えなさい。

$$4x^2 + 3y^3z^4 – 5xyz$$

解答：多項式です。

問題 3

以下の式を、同類項ごとにまとめた式を求めなさい。

$$3x^2 – 2x + 5x^2 + 4x^3 – 2x^2 – 3x^3$$

解答：

$$4x^3 + 6x^2 – 2x$$

1.1.2 同類項

同類項について

同類項とは、代数式の中で、同じ変数のべき乗を持つ項のことを指します。例えば以下のような代数式があるとします。

$$3x^2 + 2x^3 – 5x^2 + 4x$$

この式の中には、\(x\) のべき乗を持つ項が 4 つあります。このうち、\(x\) のべき乗が 2 である項 \(3x^2\) と \(-5x^2\) は同じ変数のべき乗を持つため、同類項と呼ばれます。

同様に、\(x\) のべき乗が 1 である項 \(4x\) は、他の項とは変数のべき乗が異なるため、同類項ではありません。

同類項は、代数式の加減算を簡単にするために重要な概念です。例えば、上記の式を同類項ごとにまとめると、以下のようになります。

$$3x^2 – 5x^2 + 2x^3 + 4x = -2x^2 + 2x^3 + 4x$$

同類項ごとにまとめることで、計算を簡単に行うことができます。

演習問題

同類項に関する問題

問題 1

以下の式を同類項ごとにまとめた式を求めなさい。

$$3x^2 – 2x + 5x^2 – 4x^3 – 2x^2 + 3x^3$$

解答：

$$-x^3 + 6x^2 – 2x$$

問題 2

以下の式を同類項ごとにまとめた式を求めなさい。

$$2xy – 3xy^2 + 5yx^2 + 4xy^2 – 2yx^2 – 3xy$$

解答：

$$-3xy^2 + 2yx^2 – xy$$

問題 3

以下の式を同類項ごとにまとめた式を求めなさい。

$$-3a^2b + 2ab^2 + 5a^2b – 4a^3b – 2a^2b + 3a^3b$$

解答：

$$-a^3b – a^2b + 7a^2b + 2ab^2$$