
ChatGPTでつくる高校数学の教科書(1:数と式)
1. 式の計算
1.1 整式
整式とは、数の積や和の形で表される多項式のことです。具体的には、以下のような式が整式の例として挙げられます。
f(x)=2x3+5x2–3x+7
この式は、xの3乗から0乗までの各項の係数を表し、それらを足し合わせたものとなっています。ここで、xを変数、各項の係数を定数と呼びます。
また、整式は、加法、減法、乗法、除法などの演算が可能であり、その演算結果もまた整式となります。このため、多くの数学的な問題や理論で利用される重要な概念の一つです。
例えば、以下の式も整式の一つです。
g(x)=5x4–2x2+1
1.1.1 単項式と多項式
単項式とは、変数のべき乗と係数の積で表される式のことを指します。例えば以下のような式が単項式の例です。
5x2−2yz3このような単項式は、変数に対して一つのべき乗のみを含んでおり、係数と変数の積になっています。また、定数は単項式の特別な場合として扱われます。
多項式とは、単項式を足し合わせたものである式のことを指します。例えば以下のような式が多項式の例です。
5x2–2y+z3x3+2x2–3x+7このような多項式は、複数の単項式を含んでいます。多項式は加法、減法、乗法、除法の演算が可能であり、代数学や数学の応用分野で広く利用されます。
演習問題
単項式と多項式に関する問題
問題 1
以下の式が単項式であるか、多項式であるか答えなさい。
2x2y3z4
解答:単項式です。
問題 2
以下の式が単項式であるか、多項式であるか答えなさい。
4x2+3y3z4–5xyz
解答:多項式です。
問題 3
以下の式を、同類項ごとにまとめた式を求めなさい。
3x2–2x+5x2+4x3–2x2–3x3
解答:
4x3+6x2–2x
1.1.2 同類項
同類項について
同類項とは、代数式の中で、同じ変数のべき乗を持つ項のことを指します。例えば以下のような代数式があるとします。
3x2+2x3–5x2+4x
この式の中には、x のべき乗を持つ項が 4 つあります。このうち、x のべき乗が 2 である項 3x2 と −5x2 は同じ変数のべき乗を持つため、同類項と呼ばれます。
同様に、x のべき乗が 1 である項 4x は、他の項とは変数のべき乗が異なるため、同類項ではありません。
同類項は、代数式の加減算を簡単にするために重要な概念です。例えば、上記の式を同類項ごとにまとめると、以下のようになります。
3x2–5x2+2x3+4x=−2x2+2x3+4x
同類項ごとにまとめることで、計算を簡単に行うことができます。
演習問題
同類項に関する問題
問題 1
以下の式を同類項ごとにまとめた式を求めなさい。
3x2–2x+5x2–4x3–2x2+3x3
解答:
−x3+6x2–2x
問題 2
以下の式を同類項ごとにまとめた式を求めなさい。
2xy–3xy2+5yx2+4xy2–2yx2–3xy
解答:
−3xy2+2yx2–xy
問題 3
以下の式を同類項ごとにまとめた式を求めなさい。
−3a2b+2ab2+5a2b–4a3b–2a2b+3a3b
解答:
−a3b–a2b+7a2b+2ab2