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コード	意味
rbinom(n,size=n,prob=p)	試行回数\(n\)成功確率\(p\)の二項分布に従う乱数をn個発生する。
pbinom(x,size,prob)	試行回数\(n\)成功確率\(p\)の二項分布の分布関数の\(x\)での値を返す。
dbinom(x,size,prob)	試行回数\(n\)成功確率\(p\)の二項分布の確率関数の\(x\)での値を返す。
qbinom(x,size,prob)	試行回数\(n\)成功確率\(p\)の二項分布の分位点関数の\(x\)での値を返す。

確率(質量)関数

\[p(x)=\left(\begin{array}{cc} n\\k \end{array}\right) p^k (1-p)^{n-k}={}_nC_k ~p^k (1-p)^{n-k}\]

分布関数

\[F(x)=\sum_{k:k\leq x}\left(\begin{array}{cc} n\\k \end{array}\right)\]

母数	\( n\geq 0~\)試行回数 \( 0\leq p\leq 1~\)成功確率
台	\(\{0,\ldots,n\}\)
期待値	\(np\)
最頻値	\(p(n+1)-1\leq x\leq p(n+1)\)を満たす整数\(~x\)
分散	\(np(1-p)\)
歪度	\(\frac{1-2p}{\sqrt{np(1-p)}}\)
尖度	\(\frac{1-6p(1-p)}{np(1-p)}\)
モーメント母関数	\((1-p+pe^t)^n\)
特性関数	\((1-p+pe^{it})^n\)

モーメント母関数と特性関数の導出

確率変数\(X\)が二項分布に従うとき、\(0\leq p\leq 1\)に対して、\(X\)の確率関数は次で与えられる。 \begin{align}\mathrm{Pr}\{X=k\}=\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}p^k(1-p)^{n-k}, \ \ \ \ k = 0, 1, 2, \ldots, n.\end{align} ベルヌーイ分布に従う確率変数\(X\)の積率母関数を導出する。離散確率変数の積率母関数の定義より、\(X\)の積率母関数は \begin{align}M_X(t) &=\mathrm{E}[e^{t X}]\\& = \sum_{i=1}^{\infty} e^{t x_i}\mathrm{Pr}\{X=x_i\} \\&= \sum_{k=0}^ne^{t k}\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}p^k(1-p)^{n-k}\\&=\sum_{k=0}^n\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}(pe^{t})^k(1-p)^{n-k}\end{align}
特性関数も同様の手順で導出できる。