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コード	意味
rbinom(n,size=n,prob=p)	試行回数$n$成功確率$p$の二項分布に従う乱数をn個発生する。
pbinom(x,size,prob)	試行回数$n$成功確率$p$の二項分布の分布関数の$x$での値を返す。
dbinom(x,size,prob)	試行回数$n$成功確率$p$の二項分布の確率関数の$x$での値を返す。
qbinom(x,size,prob)	試行回数$n$成功確率$p$の二項分布の分位点関数の$x$での値を返す。

確率(質量)関数

$$p(x)=\left(\begin{array}{cc} n\\k \end{array}\right) p^k (1-p)^{n-k}={}_nC_k ~p^k (1-p)^{n-k}$$

分布関数

$$F(x)=\sum_{k:k\leq x}\left(\begin{array}{cc} n\\k \end{array}\right)$$

母数	$n\geq 0~$試行回数 $0\leq p\leq 1~$成功確率
台	$\{0,\ldots,n\}$
期待値	$np$
最頻値	$p(n+1)-1\leq x\leq p(n+1)$を満たす整数$~x$
分散	$np(1-p)$
歪度	$\frac{1-2p}{\sqrt{np(1-p)}}$
尖度	$\frac{1-6p(1-p)}{np(1-p)}$
モーメント母関数	$(1-p+pe^t)^n$
特性関数	$(1-p+pe^{it})^n$

モーメント母関数と特性関数の導出

確率変数$X$が二項分布に従うとき、$0\leq p\leq 1$に対して、$X$の確率関数は次で与えられる。 $$\begin{align}\mathrm{Pr}\{X=k\}=\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}p^k(1-p)^{n-k}, \ \ \ \ k = 0, 1, 2, \ldots, n.\end{align}$$ ベルヌーイ分布に従う確率変数$X$の積率母関数を導出する。離散確率変数の積率母関数の定義より、$X$の積率母関数は $$\begin{align}M_X(t) &=\mathrm{E}[e^{t X}]\\& = \sum_{i=1}^{\infty} e^{t x_i}\mathrm{Pr}\{X=x_i\} \\&= \sum_{k=0}^ne^{t k}\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}p^k(1-p)^{n-k}\\&=\sum_{k=0}^n\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}(pe^{t})^k(1-p)^{n-k}\end{align}$$
特性関数も同様の手順で導出できる。