高校数学で学ぶ！素数の逆数和が発散する理由とその応用を例題で徹底解説

はじめに：素数と逆数の和とは？

素数とは、1とその数自身以外に正の約数を持たない1より大きい整数のことをいいます。例えば、2, 3, 5, 7, 11, 13, …が素数です。

逆数とは、ある数\(a\)に対して \(\frac{1}{a}\) のことです。例えば、数列の中の素数の逆数和とは次のような級数のことを指します。

\[ S = \sum_{\substack{p: \text{素数}}} \frac{1}{p} = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \frac{1}{7} + \frac{1}{11} + \cdots \]

この級数の性質を理解することは、数論だけでなく解析学や情報理論にも深い関わりがあります。

「発散する」とは、無限に和を足し続けたときにその合計が有限の数に近づくのではなく、いくらでも大きくなることを意味します。

有名な調和級数

\[ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \cdots \]

は発散することが知られていますが、素数は自然数の中でも非常にまばらなので、一見すると逆数の和は収束しそうに思えます。しかし実際は違います。

このことはレオンハルト・オイラーによって証明され、以下の考え方が使われます。

簡単な証明のアイデアを紹介します。

まず、全ての自然数に対して

\[ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s} = \prod_{p: \text{素数}} \frac{1}{1 – p^{-s}} \quad (s > 1) \]

というオイラーの公式があります。ここで\(s=1\)に近づけると、和の側は調和級数に近づき発散します。一方、積の側も無限に続くため、素数の逆数和が発散することがわかります。

直感的には、素数の逆数は数が少なくてもそれぞれが十分大きく、足し合わせると大きくなり続けるのです。

実際にいくつかの素数の逆数を足してみましょう。

\(\frac{1}{2} = 0.5\)
\(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = 0.5 + 0.3333… = 0.8333…\)
\(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} = 0.8333… + 0.2 = 1.0333…\)
\(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \frac{1}{7} = 1.0333… + 0.142857… = 1.17619…\)
\(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \frac{1}{7} + \frac{1}{11} = 1.17619… + 0.090909… = 1.2671…\)

このように少数の逆数和でもどんどん増えています。計算を続けるともっと増えることが確認できますが、増え方は調和級数ほど速くありません。

逆に、素数の逆数和はゆっくり発散するので、有限の大きさにはならないものの、増加は緩やかです。これは数学的に重要な性質です。

素数の逆数和が発散することは、数学のさまざまな分野に影響を与えています。

さらに、発散性を使った問題や応用例も高校数学の発展問題や大学初年度の数学に登場します。たとえば、次のような応用問題があります。

例題：「素数の逆数の和が有限だと仮定するとどんな矛盾が生じるか？」

この問題を通して、仮定が間違っている（つまり逆数和は発散する）ことを論理的に説明する訓練ができます。

今回は、素数の逆数和が発散する性質について、以下のポイントを中心に解説しました。

このテーマは、数学の基本的な考え方である無限級数や数列の性質を学ぶ上で大変重要です。ぜひ例題などを繰り返し解き、理解を深めてください。