目次

• クロネッカーの稠密定理とは
• 直感的な理解
• 具体的な例題
• 応用例とその意味
• まとめ

クロネッカーの稠密定理とは

クロネッカーの稠密定理（Kronecker’s Density Theorem）は、数論における非常に美しい結果の一つです。 定理の主張を簡単に言うと、

ある条件を満たす無理数の整数倍は、単位区間（0以上1未満）の中でどんな実数にも近づける、というものです。

正確な数学的な表現は以下の通りです：

\[ \alpha \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} \text{ のとき、} \{n\alpha\} \text{ は } [0,1) \text{ に稠密である} \]

ここで \(\{x\}\) は「小数部分」を意味します。つまり、例えば \(\{3.7\} = 0.7\)、\(\{-2.3\} = 0.7\) です。

「稠密」とは、どんな小さな区間にもこの集合の要素が存在する、という意味です。 つまり、無理数 \(\alpha\) の整数倍の小数部分は、単位区間を限りなく埋め尽くすように現れるということです。

直感的な理解

例えば \(\alpha = \sqrt{2}\) を考えてみましょう。整数倍を計算していくと：

• \(1 \cdot \sqrt{2} \approx 1.4142\)、小数部分は \(0.4142\)
• \(2 \cdot \sqrt{2} \approx 2.8284\)、小数部分は \(0.8284\)
• \(3 \cdot \sqrt{2} \approx 4.2426\)、小数部分は \(0.2426\)
• …

このように、無理数 \(\alpha\) をどんどん整数倍していくと、その小数部分はバラバラの位置に現れます。 そして、どの位置にも「近い値」がいずれ現れる、というのが定理の本質です。

一方、\(\alpha = \frac{1}{3}\) のような有理数であれば：

• \(1 \cdot \frac{1}{3} = 0.333\ldots\)
• \(2 \cdot \frac{1}{3} = 0.666\ldots\)
• \(3 \cdot \frac{1}{3} = 1.000\ldots \Rightarrow 0\)

このように有限個の値しか小数部分に現れず、稠密にはなりません。 この違いが「無理数であることが重要」な理由です。

具体的な例題

例題1： \(\alpha = \pi\) のとき、\(\{n\pi\}\) は \([0,1)\) に稠密であることを説明せよ。

\(\pi\) は無理数なので、クロネッカーの稠密定理の条件を満たしています。したがって、\(\{n\pi\}\) は \([0,1)\) に稠密となります。すなわち、どんな \(x \in [0,1)\) とどんな \(\varepsilon > 0\) に対しても、 ある整数 \(n\) が存在して、\(|\{n\pi\} – x| < \varepsilon\) となります。

例題2： 任意の実数 \(x \in [0,1)\) に対して、ある \(n\) が存在して \(\{n\sqrt{5}\} \approx x\) となることを示せ。

\(\sqrt{5}\) は無理数なので、\(\{n\sqrt{5}\}\) は \([0,1)\) に稠密である。したがって、どんな実数 \(x \in [0,1)\) に対しても、 任意の精度 \(\varepsilon > 0\) で近づくような \(\{n\sqrt{5}\}\) が存在する。

応用例とその意味

この定理の応用は幅広く、例えば以下のような場面で使われます：

• 一様分布の理論的根拠： 無理数倍の整数列が一様に分布することの直感的背景になります。
• 暗号理論や擬似乱数生成： 一見ランダムに見える数列を構成するのに活用されます。
• トーラスの回転： 回転角が無理数のときの挙動（エルゴード理論）で使われます。
• 解析学の補題： 実数上の連続関数の性質を証明する際の道具になります。

このように、単なる数列の話にとどまらず、数学の深い領域に繋がる入口となるのがこの定理の魅力です。

まとめ

クロネッカーの稠密定理は、無理数の整数倍の小数部分が単位区間に稠密になるという事実を示します。 一見地味な話に思えるかもしれませんが、背後には深い数学的意味があり、多くの応用があります。 高校数学で触れることは少ないかもしれませんが、実際の数学研究や応用にとって非常に重要な定理です。

ぜひこの定理を通じて、「数列」や「実数」の世界がどれほど奥深いかを感じてもらえたら嬉しいです。