高校数学B｜重複組合せの応用を徹底解説！
目次
重複組合せとは
重複組合せとは、「同じものを何回使ってもよい」という条件のもとで、異なる種類のものを選ぶ方法の数を数える考え方です。 これは通常の「組合せ（同じものは1回まで）」とは違い、繰り返しの選択が可能になります。
たとえば、3種類の果物（リンゴ・バナナ・ミカン）から、合計5個選ぶ場合に、同じ果物を何回選んでもよいとすると、それは重複組合せになります。
重複組合せの公式とその意味
重複組合せの公式は以下の通りです：
\[ \left(_nH_r\right) = \left(\binom{n + r – 1}{r}\right) \]- \( n \)：種類の数（区別できるものの種類）
- \( r \)：選ぶ個数
「\( n \)種類のものから重複を許して\( r \)個選ぶ方法の数」は、「\( n + r – 1 \)個から\( r \)個を選ぶ組合せ」と等しくなります。 これは、以下の「仕切りの考え方」によって導かれます。
基本的な例題
例題1
3種類の飴（いちご味・レモン味・ぶどう味）から、合計4個を選ぶ方法の数を求めよ。ただし、同じ味の飴を何個選んでもよい。
これは「重複組合せ」の問題で、以下のように考えます。
- \( n = 3 \)（種類）
- \( r = 4 \)（選ぶ個数）
例題2
4種類のアイス（バニラ・チョコ・抹茶・ストロベリー）から、5個のアイスを選ぶとき、何通りの選び方があるか。
\[ \left(_4H_5\right) = \binom{4 + 5 – 1}{5} = \binom{8}{5} = 56 \]応用的な例題
例題3：制限付きの重複組合せ
5種類の鉛筆（A, B, C, D, E）から合計6本を選ぶ。ただし、鉛筆Aは最大2本までしか選べない。このときの選び方は何通りか。
このような制限付きの重複組合せは、場合分けで処理します。Aの選ぶ本数を0本, 1本, 2本に分けて、それぞれ残りの鉛筆で重複組合せを使って計算します。
- Aを0本選ぶ：残りは4種類から6本選ぶ → \(\left(_4H_6\right) = \binom{9}{6} = 84\)
- Aを1本選ぶ：残りは4種類から5本 → \(\left(_4H_5\right) = \binom{8}{5} = 56\)
- Aを2本選ぶ：残りは4種類から4本 → \(\left(_4H_4\right) = \binom{7}{4} = 35\)
例題4：数の和に関する応用
正の整数の解を求めよ： \[ x + y + z = 7 \] ただし、\( x, y, z \)は正の整数。
これは「正の整数の重複組合せ」として扱えます。まず、各変数を1以上にするため、変数変換をします。
- \( x’ = x – 1 \)
- \( y’ = y – 1 \)
- \( z’ = z – 1 \)
よって、\( x’ + y’ + z’ = 4 \)（\( x’, y’, z’ \geq 0 \)）となり、これは \[ \left(_3H_4\right) = \binom{6}{4} = 15 \] 通りとなります。
重複組合せの解法のコツ
- 問題文に「同じものを何度でも選べる」「制限なし」などの表現がある場合は重複組合せの可能性を疑う。
- 制限がある場合は「場合分け」が必要。
- 正の整数の和の問題は、変数変換で「重複組合せ」に直せることが多い。
- 「仕切り」の図を書いてイメージすると、公式の意味がつかみやすい。
