目次

• 分割数とは何か？
• 分割数の性質
• 分割数の例題
• 分割数の応用
• まとめ

分割数とは何か？

分割数（partition number）とは、ある正の整数 \( n \) を、順序を考慮せずに正の整数の和として表す方法の数のことです。例えば、整数 \( 4 \) の分割数は以下の通りです。

• \(4\)
• \(3 + 1\)
• \(2 + 2\)
• \(2 + 1 + 1\)
• \(1 + 1 + 1 + 1\)

したがって、\( p(4) = 5 \) となります。ここで \( p(n) \) は整数 \( n \) の分割数を表す記号です。

例えば、\( p(5) = 7 \) であり、その内訳は次の通りです：

• \(5\)
• \(4 + 1\)
• \(3 + 2\)
• \(3 + 1 + 1\)
• \(2 + 2 + 1\)
• \(2 + 1 + 1 + 1\)
• \(1 + 1 + 1 + 1 + 1\)

分割数の性質

分割数には多くの面白い性質があります。以下にいくつか紹介します。

対称性と生成関数

分割数には「生成関数」と呼ばれる便利な表現があります。分割数全体の列を生成する母関数は以下の無限積で表されます：

\[ \sum_{n=0}^{\infty} p(n)x^n = \prod_{k=1}^{\infty} \frac{1}{1 – x^k} \]

この式は無限個の項の積であり、それを展開して \( x^n \) の係数を読むことで \( p(n) \) が求まります。

漸近公式（ハーディ＝ラマヌジャンの公式）

分割数は大きな \( n \) に対して急速に増加します。具体的には、次のような近似式が知られています。

\[ p(n) \sim \frac{1}{4n\sqrt{3}} \exp\left( \pi \sqrt{ \frac{2n}{3} } \right) \]

この式は、イギリスの数学者ハーディとインドの数学者ラマヌジャンによって導かれた有名な結果です。

偶数・奇数の関係

\( n \) の分割数のうち、偶数個の項を持つものと奇数個の項を持つものの差に関しても多くの研究があり、「ペントゴン数定理」などの結果につながります。

分割数の例題

例題1：\( p(6) \) を求めよ

順列の区別なしに整数 6 を和で表す方法を数えます。

• \(6\)
• \(5 + 1\)
• \(4 + 2\)
• \(4 + 1 + 1\)
• \(3 + 3\)
• \(3 + 2 + 1\)
• \(3 + 1 + 1 + 1\)
• \(2 + 2 + 2\)
• \(2 + 2 + 1 + 1\)
• \(2 + 1 + 1 + 1 + 1\)
• \(1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1\)

したがって、\( p(6) = 11 \) です。

例題2：分割数を利用した問題

「3以下の整数のみを使って 7 を分割する方法の数を求めよ」

これは、使える整数が 1, 2, 3 に限られる制限付き分割数の問題です。

• \(3 + 3 + 1\)
• \(3 + 2 + 2\)
• \(3 + 2 + 1 + 1\)
• \(3 + 1 + 1 + 1 + 1\)
• \(2 + 2 + 2 + 1\)
• \(2 + 2 + 1 + 1 + 1\)
• \(2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1\)
• \(1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1\)

よって、解は 8 通りです。

分割数の応用

分割数は単なる数え上げの問題にとどまらず、さまざまな数学分野で応用されます。

整数論への応用

分割数は整数論、特に数論的関数（例えばディリクレ級数）やモジュラー形式と深い関係があります。

組合せ論との関係

組合せ論では、分割数を使って様々な組合せ構造を数える問題に応用されます。例えば、整数の格子点に関する問題や、Young図形との関係があります。

確率論への応用

確率の世界では、分割数は「分布の分割」や「状態数の計数」に関わり、ボーズ・アインシュタイン統計などにも登場します。

コンピュータサイエンスやアルゴリズム設計

分割数を求める動的計画法のアルゴリズムは、効率的な数え上げ問題の設計に役立ちます。

まとめ

• 分割数とは、ある整数を順序を無視して和に分ける方法の数
• 生成関数や漸近公式を用いて数学的に解析できる
• 高校数学でも十分扱えるトピックであり、発展的内容として面白い
• 整数論・組合せ論・確率論・情報科学など幅広い応用分野がある

興味を持ったら、例えばペントゴン数定理やラマヌジャンの研究など、さらに深く探求してみましょう。