この記事では、高校数学で学ぶ「二次不等式」の解き方について、基本から応用まで具体的な例を交えて丁寧に解説します。受験や定期テストでも頻出のテーマですので、ぜひ最後まで読んでマスターしてください。

目次

• 二次不等式とは
• 二次不等式の基本的な解き方
• グラフを用いた解き方
• 応用例題とその解説
• まとめ

二次不等式とは

二次不等式とは、次のように表される不等式のことです。

\[ ax^2 + bx + c > 0 \quad \text{や} \quad ax^2 + bx + c \leq 0 \]

ここで \( a, b, c \) は定数（ただし \( a \neq 0 \)）であり、\( x \) は変数です。

二次不等式は、二次方程式と同様に「解の公式」や「因数分解」を使って扱うことができますが、「不等式」であるため符号に注意が必要です。

二次不等式の基本的な解き方

ステップ1：左辺をゼロにする

まず、不等式の左辺を \( ax^2 + bx + c \) の形に整えます。

ステップ2：対応する二次方程式を解く

次に、対応する方程式

\[ ax^2 + bx + c = 0 \]

を解きます。解は以下の公式で求められます：

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a} \]

ステップ3：数直線で符号を確認する

二次関数の符号は、グラフの形（上に凸 or 下に凸）や軸の位置によって決まります。解を境に符号がどう変化するかを確認し、不等式を満たす区間を求めます。

例題1：

\[ x^2 – 5x + 6 > 0 \]

1. 左辺はすでに整理済み。
2. 方程式 \( x^2 – 5x + 6 = 0 \) を解くと、因数分解で \[ (x – 2)(x – 3) = 0 \Rightarrow x = 2, 3 \]
3. 数直線上で区間を確認：
   • \( x < 2 \) → 正
   • \( 2 < x < 3 \) → 負
   • \( x > 3 \) → 正
4. 「正」の部分を選ぶので、解は： \[ x < 2 \quad \text{または} \quad x > 3 \]

グラフを用いた解き方

二次不等式は、対応する二次関数のグラフを描くことで直感的に理解しやすくなります。

例えば、次の不等式を考えましょう：

\[ -x^2 + 4x – 3 \leq 0 \]

1. 対応する関数 \( y = -x^2 + 4x – 3 \) のグラフを描く。
2. 上に凸の放物線で、頂点は \[ x = \frac{-b}{2a} = \frac{-4}{-2} = 2 \]
3. 解の公式で根を求めると： \[ x = \frac{-4 \pm \sqrt{16 – 4 \cdot (-1) \cdot (-3)}}{-2} = \frac{-4 \pm \sqrt{4}}{-2} = \frac{-4 \pm 2}{-2} \Rightarrow x = 1, 3 \]
4. 不等式が「0以下」なので、グラフが \(x\) 軸以下にある範囲： \[ 1 \leq x \leq 3 \]

応用例題とその解説

例題2：

\[ \frac{x^2 – 4}{x – 1} > 0 \]

このような「分数形式の不等式」も、二次不等式と同じ手法で考えられます。

1. 分母と分子のそれぞれの符号を考える。
2. 分子 \( x^2 – 4 = (x – 2)(x + 2) \)、分母 \( x – 1 \)
3. 数直線上に 3つの境界点： \( -2, 1, 2 \)
4. 符号変化を確認：
   • \( x < -2 \)：分子 > 0, 分母 < 0 → 全体 < 0
   • \( -2 < x < 1 \)：分子 < 0, 分母 < 0 → 全体 > 0
   • \( 1 < x < 2 \)：分子 < 0, 分母 > 0 → 全体 < 0
   • \( x > 2 \)：分子 > 0, 分母 > 0 → 全体 > 0
5. 定義域に注意して、解は： \[ -2 < x < 1 \quad \text{または} \quad x > 2 \]

例題3（2次の係数が負）：

\[ -2x^2 + 3x + 5 \geq 0 \]

1. 方程式を解く： \[ x = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 40}}{-4} = \frac{-3 \pm \sqrt{49}}{-4} = \frac{-3 \pm 7}{-4} \Rightarrow x = -1, \frac{5}{2} \]
2. 放物線は上に凸。グラフが \(0\) 以上になる範囲は \[ -1 \leq x \leq \frac{5}{2} \]

まとめ

• 二次不等式は、まず対応する方程式を解いて境界を求める。
• 符号の変化やグラフを使って、どの区間で不等式が成り立つかを判断する。
• 応用問題では、分母があるときの定義域の確認も重要。

今回紹介した例題を参考に、類題にも積極的に取り組んでみてください。