目次

• ベルヌーイの不等式とは？
• 不等式の証明
• 基本的な例題
• 応用例題
• 数学での活用例とまとめ

ベルヌーイの不等式とは？

ベルヌーイの不等式は、指数関数の初歩的な性質に関連する重要な不等式であり、次のように表されます。

実数 \( x \geq -1 \)、自然数 \( n \in \mathbb{N} \) に対して、 \[ (1 + x)^n \geq 1 + nx \] が成り立ちます。ただし、\( n = 1 \) のときは等号が成立し、それ以外は通常不等号になります。

この不等式は、指数関数の近似や、評価式に非常に役立ちます。

不等式の証明

ベルヌーイの不等式の証明には数学的帰納法を用いるのが一般的です。

【証明】

\( x \geq -1 \) とし、\( n \in \mathbb{N} \) に対して、次を示します： \[ (1 + x)^n \geq 1 + nx \]

初期値：\( n = 1 \)

左辺：\( (1 + x)^1 = 1 + x \)
右辺：\( 1 + 1 \cdot x = 1 + x \)
よって等号成立。

帰納法の仮定：

\( n = k \) のときに \[ (1 + x)^k \geq 1 + kx \] が成り立つと仮定。

帰納法のステップ：

\( n = k + 1 \) のとき： \[ (1 + x)^{k+1} = (1 + x)^k(1 + x) \geq (1 + kx)(1 + x) \] 展開して： \[ (1 + kx)(1 + x) = 1 + x + kx + kx^2 = 1 + (k+1)x + kx^2 \] \( x \geq -1 \) なので \( x^2 \geq 0 \)、したがって \( kx^2 \geq 0 \)
よって、 \[ (1 + x)^{k+1} \geq 1 + (k+1)x \] 証明完了。

基本的な例題

例題1：

\( x = 0.1 \)、\( n = 3 \) のとき、ベルヌーイの不等式を確認してみましょう。

左辺：\( (1 + 0.1)^3 = 1.1^3 \approx 1.331 \)
右辺：\( 1 + 3 \cdot 0.1 = 1.3 \)
よって、確かに \[ 1.331 \geq 1.3 \] 成り立っています。

例題2：

\( x = -0.5 \)、\( n = 4 \) のときも確認しましょう。

左辺：\( (1 – 0.5)^4 = 0.5^4 = 0.0625 \)
右辺：\( 1 + 4 \cdot (-0.5) = 1 – 2 = -1 \)
よって、 \[ 0.0625 \geq -1 \] も成立しています。

応用例題

応用例題1：複雑な式の評価

次の式を評価せよ： \[ (1 + \frac{1}{n})^n \] この式は \( n \to \infty \) のとき、\( e \) に近づくことで知られています。ベルヌーイの不等式を使って下から評価すると： \[ (1 + \frac{1}{n})^n \geq 1 + n \cdot \frac{1}{n} = 2 \] つまり、どんな \( n \) に対してもこの式は少なくとも 2 以上であることがわかります。

応用例題2：関数の単調性を示す

関数 \( f(x) = (1 + x)^n – (1 + nx) \) が \( x \geq -1 \) で常に 0 以上であることを示すことで、単調増加性を示す問題にも応用できます。

これはベルヌーイの不等式の定義そのものであり、微分して確認しても構いません。

数学での活用例とまとめ

ベルヌーイの不等式は、次のような場面で広く活用されます：

• 指数関数の下からの評価
• 極限の下限評価
• 不等式を用いた証明問題
• 数列の評価問題（特に漸化式を用いる問題）

高校数学では入試問題にもたびたび登場します。覚えるだけでなく、「どのように使うか」を理解することで得点力が上がります。

練習問題や演習でも頻出のこの不等式を、自分の武器にしておきましょう。