三角不等式を完全理解！絶対値・複素数・ベクトルまで一気にマスター
目次
三角不等式とは？
三角不等式（Triangle Inequality）とは、数学のさまざまな分野で共通して現れる不等式で、次のような形で表されます：
\[ |a + b| \leq |a| + |b| \]
ここで \(a\), \(b\) は実数、複素数、またはベクトルであり、絶対値またはノルムが使われます。この不等式は、「二点間の最短距離は一直線で結んだ距離である」という直感的な意味を持っています。
絶対値における三角不等式
まず、実数の世界で三角不等式を考えてみましょう。
実数 \(a\), \(b\) に対して、 \[ |a + b| \leq |a| + |b| \] が成り立ちます。
例題1
\(a = 3\), \(b = -5\) のとき、 \[ |a + b| = |3 – 5| = |-2| = 2 \] \[ |a| + |b| = |3| + |-5| = 3 + 5 = 8 \] よって \(2 \leq 8\) が成り立ちます。
例題2
\(a = -4\), \(b = -1\) のとき、 \[ |a + b| = |-4 – 1| = |-5| = 5 \] \[ |a| + |b| = 4 + 1 = 5 \] この場合は等号成立です。
複素数における三角不等式
複素数 \(z_1 = a + bi\), \(z_2 = c + di\) に対しても同様に、 \[ |z_1 + z_2| \leq |z_1| + |z_2| \] が成り立ちます。ここで、複素数の絶対値は \[ |z| = \sqrt{a^2 + b^2} \] で定義されます。
例題3
\(z_1 = 1 + 2i\), \(z_2 = -3 + i\) のとき、 \[ z_1 + z_2 = (1 – 3) + (2 + 1)i = -2 + 3i \] \[ |z_1 + z_2| = \sqrt{(-2)^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13} \] \[ |z_1| = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}, \quad |z_2| = \sqrt{(-3)^2 + 1^2} = \sqrt{10} \] \[ |z_1| + |z_2| = \sqrt{5} + \sqrt{10} \approx 2.24 + 3.16 = 5.4 \] \(\sqrt{13} \approx 3.61 < 5.4\) よって三角不等式が成り立ちます。
ベクトルにおける三角不等式
空間内のベクトル \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) に対しても次が成り立ちます： \[ |\vec{a} + \vec{b}| \leq |\vec{a}| + |\vec{b}| \]
例題4
\(\vec{a} = (3, 4)\), \(\vec{b} = (1, -2)\) のとき、 \[ \vec{a} + \vec{b} = (4, 2) \] \[ |\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} \] \[ |\vec{a}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5, \quad |\vec{b}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2} = \sqrt{5} \] \[ |\vec{a}| + |\vec{b}| = 5 + \sqrt{5} \approx 5 + 2.24 = 7.24 \] \(\sqrt{20} \approx 4.47 < 7.24\) よって不等式が成り立ちます。
三角不等式の証明
実数の場合、次のように証明できます： \[ |a + b|^2 = (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \] \[ \leq a^2 + 2|a||b| + b^2 = (|a| + |b|)^2 \] よって、 \[ |a + b| \leq |a| + |b| \]
複素数やベクトルでも同様に内積やノルムを使って証明できます。
三角不等式の応用例
- 関数の連続性や極限の評価：誤差評価に使われます。
- 解析幾何：点と点との距離の最小・最大の考察に。
- ベクトルの合成：ベクトルの大きさの範囲を求めるときに活躍。
- 物理学：三角不等式により到達可能な範囲や最大エネルギーの見積もりが可能です。
応用例1：ベクトルの合成の範囲
\(|\vec{a} – \vec{b}| \leq |\vec{a} + \vec{b}|\) が成り立つ条件や、等号成立条件を考えることで、ベクトルの向きに関する情報が得られます。
応用例2：数列の極限評価
数列 \((a_n)\) の極限を調べる際、 \[ |a_n – L| \leq |a_n – b_n| + |b_n – L| \] のように三角不等式を利用して評価します。
まとめ
三角不等式は、数学のあらゆる場面で登場する基本かつ重要な不等式です。実数、複素数、ベクトルといった異なる数学的対象に対して共通に成り立ち、直感的には「最短距離が一直線である」という意味を持ちます。具体的な計算や証明を通してその意味を理解することで、数学全体の理解が深まります。
