図形と不等式の融合！Weitzenböckの不等式を高校数学で完全マスター
目次
Weitzenböckの不等式とは？
Weitzenböckの不等式は、三角形の辺の長さに関する美しい不等式です。
この不等式は主に幾何学の分野で現れますが、代数的にも扱うことができるため、高校数学の範囲でも十分理解・活用可能です。
この不等式が扱うのは、三角形の各辺の長さと面積の関係です。単に計算に留まらず、図形の性質の理解を深める手助けとなります。
不等式の定式化
Weitzenböckの不等式は以下のように表されます。
三角形の3辺を \( a, b, c \)、面積を \( S \) とすると、
\[ a^2 + b^2 + c^2 \geq 4\sqrt{3}S \]
等号が成り立つのは、三角形が正三角形の場合のみです。
つまり、任意の三角形において、辺の長さの2乗和は、面積に比例するある一定値より常に大きくなります。
Weitzenböckの不等式の証明
Weitzenböckの不等式の証明は、さまざまなアプローチがありますが、ここでは中学生・高校生にもわかるように、正弦定理と余弦定理を使った手法の概略を紹介します。
- 三角形の面積 \( S \) は、ヘロンの公式や \[ S = \frac{1}{2} ab \sin C \] を使って表せます。
- また、余弦定理により、辺の2乗和 \( a^2 + b^2 + c^2 \) を角度と関係づけて表現できます。
- これらを代入・変形し、三角形の面積の最大化（正三角形のとき）を用いて、不等式を導きます。
詳しい証明は代数的な変形が多くなるため省略せずに記します。
例えば、正三角形では \[ a = b = c, \quad S = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 \] なので、 \[ a^2 + b^2 + c^2 = 3a^2 = 4\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 = 4\sqrt{3}S \] より、等号成立を確認できます。
例題で理解を深めよう
例題1：与えられた三角形の辺から面積の下限を求める
三角形の辺の長さが \( a = 5 \), \( b = 6 \), \( c = 7 \) のとき、面積 \( S \) の上限をWeitzenböckの不等式を使って求めよ。
\[ a^2 + b^2 + c^2 = 25 + 36 + 49 = 110 \] より、 \[ 110 \geq 4\sqrt{3}S \Rightarrow S \leq \frac{110}{4\sqrt{3}} \approx 15.87 \]
実際にヘロンの公式で求めた面積は約14.7なので、確かに不等式が成り立っていることがわかります。
例題2：等号成立の条件を確認する
辺の長さがすべて等しい三角形（正三角形）の場合、Weitzenböckの不等式は等号になります。
\[ a = b = c = x \Rightarrow S = \frac{\sqrt{3}}{4}x^2 \] \[ a^2 + b^2 + c^2 = 3x^2, \quad 4\sqrt{3}S = 4\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4}x^2 = 3x^2 \] よって、等号成立。
応用：図形問題や最小値問題への活用
Weitzenböckの不等式は、図形の最小・最大値問題に応用できます。
特に「三角形の面積を最大化せよ」「辺の長さが一定のとき面積の最小値を求めよ」といった問題に対して、非常に強力な道具となります。
応用例1：最小値問題
三角形の3辺の長さの2乗和が一定のとき、面積の最大値を求めよ。
Weitzenböckの不等式より、 \[ a^2 + b^2 + c^2 \geq 4\sqrt{3}S \Rightarrow S \leq \frac{a^2 + b^2 + c^2}{4\sqrt{3}} \] 等号成立のとき面積が最大、つまり正三角形のとき。
応用例2：図形問題の裏付けに
図形問題において、与えられた条件下で三角形が正三角形に近づくと面積が最大化する傾向にあることを、この不等式は裏付けてくれます。
まとめ
- Weitzenböckの不等式は三角形の辺と面積の関係を示す重要な不等式。
- 正三角形のときに等号が成立する。
- 応用として、面積の最小・最大値問題、図形の最適化問題に利用可能。
このように、高校数学でも十分に理解・活用できる内容なので、数学オリンピックや数学研究に挑戦する高校生にとっても必須の知識です。
