目次

• この不等式とは何か？
• 基本的な証明方法
• 例題とその解説
• 応用問題と考察
• まとめ

この不等式とは何か？

不等式 \[ a^2 + b^2 + c^2 \geq ab + bc + ca \] は、高校数学で頻出の対称式の不等式の一つで、特に数式の整理や評価において非常に重要な役割を果たします。この不等式は実数 \( a, b, c \) に対して常に成り立ちます。

覚えるべきポイントは：

• 左辺は「各変数の2乗の和」
• 右辺は「各変数の積の和（隣り合うような形）」
• 対称性があること（順序を変えても同じ式になる）

基本的な証明方法

この不等式を証明する方法はいくつかありますが、ここでは代表的な2つの方法を紹介します。

方法1：展開と整理による証明

左辺と右辺の差を考えます： \[ a^2 + b^2 + c^2 – ab – bc – ca \] この式を変形します。 \[ = \frac{1}{2} \left[ (a – b)^2 + (b – c)^2 + (c – a)^2 \right] \] 各項が2乗なので、全体は常に0以上です。したがって、不等式は常に成り立ちます。

方法2：相加相乗平均（AM-GM）不等式を使う

相加相乗平均の不等式を直接使うのは少し工夫が必要ですが、例えば \[ a^2 + b^2 \geq 2ab,\quad b^2 + c^2 \geq 2bc,\quad c^2 + a^2 \geq 2ca \] をそれぞれ足し合わせることで \[ 2(a^2 + b^2 + c^2) \geq 2(ab + bc + ca) \] よって \[ a^2 + b^2 + c^2 \geq ab + bc + ca \] が得られます。

例題とその解説

例題1：基本的な代入

実数 \( a = 1, b = 2, c = 3 \) のとき、この不等式が成り立つことを確認せよ。

計算すると、 \[ a^2 + b^2 + c^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 = 14 \] \[ ab + bc + ca = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 1 = 11 \] よって、\( 14 \geq 11 \) で成り立っています。

例題2：等号が成り立つ条件

等号 \( a^2 + b^2 + c^2 = ab + bc + ca \) が成り立つのは、すべての差がゼロ、つまり \[ (a – b)^2 + (b – c)^2 + (c – a)^2 = 0 \] のとき、すなわち \( a = b = c \) のときのみです。

応用問題と考察

応用1：最大値・最小値問題での活用

関数の最大・最小を求める際に、ある式が「0以上」であることを示すためにこの不等式が利用されることがあります。たとえば次のような問題です。

実数 \( x, y, z \) が定数和 \( x + y + z = 0 \) を満たすとき、次の式の最小値を求めよ： \[ x^2 + y^2 + z^2 \]
ここで、\( x + y + z = 0 \) より \( z = -x – y \) として代入し、整理すると \[ x^2 + y^2 + (-x – y)^2 = x^2 + y^2 + x^2 + 2xy + y^2 = 2x^2 + 2y^2 + 2xy \] \[ = 2(x^2 + y^2 + xy) \] ここで、先ほどの不等式を使えば \[ x^2 + y^2 \geq -xy \Rightarrow x^2 + y^2 + xy \geq 0 \] よって最小値は0となります。

応用2：ベクトルを使った証明

ベクトル \( \vec{a} = (a, b), \vec{b} = (b, c), \vec{c} = (c, a) \) を考えたときの内積やノルムの関係でもこの不等式の背景が説明できます。これは大学数学の入り口にもつながります。

まとめ

この不等式 \[ a^2 + b^2 + c^2 \geq ab + bc + ca \] は、高校数学で非常に重要な役割を果たします。特に以下のポイントを覚えておきましょう：

• いつでも成り立つ（実数に対して）
• 等号は \( a = b = c \) のときのみ
• 平方完成や内積、不等式の証明に応用される

このように、基本から応用まで理解することで、数学の力が確実に向上します。不等式は多くの場面で登場するため、繰り返し練習しながら、自然に使えるようにしていきましょう。