高校数学を極める！三次方程式の解の公式を徹底解説＆例題でマスター
目次
三次方程式とは？
三次方程式とは、最高次数が3の文字式で表される方程式のことです。一般に次の形で表されます：
\[ ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 \quad (a \neq 0) \]
この方程式の解を求める方法の一つが「三次方程式の解の公式」です。二次方程式には解の公式がありましたが、三次方程式にも同様に、一般形を解くための公式が存在します。
三次方程式の解の公式
まず、標準形：
\[ x^3 + px + q = 0 \]
この形に変形してから、以下のカルダノの公式を使います。
解は以下で与えられます：
\[ x = \sqrt[3]{- \frac{q}{2} + \sqrt{ \left( \frac{q}{2} \right)^2 + \left( \frac{p}{3} \right)^3 }} + \sqrt[3]{- \frac{q}{2} – \sqrt{ \left( \frac{q}{2} \right)^2 + \left( \frac{p}{3} \right)^3 }} \]
判別式：
\[ D = \left( \frac{q}{2} \right)^2 + \left( \frac{p}{3} \right)^3 \]
- \( D > 0 \)：実数解1個＋虚数解2個
- \( D = 0 \)：重解を含む実数解3個
- \( D < 0 \)：すべて実数解（ただし三重根号を使う）
解の公式を使う手順
- 方程式を \( x^3 + px + q = 0 \) の形にする
- 判別式 \( D \) を計算する
- カルダノの公式を使って解を求める
例題1：基本形の三次方程式
次の方程式を解きなさい：
\[ x^3 – 3x + 2 = 0 \]
標準形に既になっているので、\( p = -3 \), \( q = 2 \) です。
判別式：
\[ D = \left( \frac{2}{2} \right)^2 + \left( \frac{-3}{3} \right)^3 = 1^2 + (-1)^3 = 1 – 1 = 0 \]
\( D = 0 \) の場合、重解を含む実数解が3つあります。
1つの解は：
\[ x = \sqrt[3]{ -1 } + \sqrt[3]{ -1 } = -1 + (-1) = -2 \quad \text{（不正解。確認が必要）} \]
実はこの問題は因数分解の方が簡単です：
\[ x^3 – 3x + 2 = (x – 1)^2(x + 2) \]
したがって、解は：
\[ x = 1 \quad (\text{重解}), \quad x = -2 \]
例題2：係数を含む複雑な三次方程式
次の三次方程式を解きましょう：
\[ x^3 + 6x^2 + 12x + 8 = 0 \]
まず、一次変換 \( x = y – 2 \) で平方完成的に標準形に近づけます（ティルティング変数）：
\[ y^3 + py + q = 0 \]
実際にはこの方程式は因数分解可能です：
\[ x^3 + 6x^2 + 12x + 8 = (x + 2)^3 \]
よって、重解 \( x = -2 \) が三重に存在します。
虚数解を含む場合
次の方程式を解いてみましょう：
\[ x^3 + x + 1 = 0 \]
\( p = 1 \), \( q = 1 \) より、判別式：
\[ D = \left( \frac{1}{2} \right)^2 + \left( \frac{1}{3} \right)^3 = \frac{1}{4} + \frac{1}{27} \approx 0.287 > 0 \]
よって、実数解1個、虚数解2個です。
カルダノの公式に代入して：
\[ x = \sqrt[3]{ -\frac{1}{2} + \sqrt{0.287} } + \sqrt[3]{ -\frac{1}{2} – \sqrt{0.287} } \]
この値は近似的に：
\[ x \approx -0.685 \quad (\text{実数解}) \]
残りは複素数解になります。
まとめ
- 三次方程式の一般形は \( ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 \)
- 標準形 \( x^3 + px + q = 0 \) に変形し、カルダノの公式を使う
- 判別式の符号により解の性質（実数 or 虚数）が分かる
- 場合によっては因数分解の方が楽に解ける
この公式は非常に強力ですが、計算が煩雑になることもあるため、実用的には因数分解やグラフを併用すると効率的です。
