高校数学の要：対称式の基本公式と例題で徹底理解！
目次
対称式とは？
対称式とは、変数 \( x \), \( y \), \( z \) などを入れ替えても値が変わらない式のことを指します。 たとえば、次のような式はすべて対称式です：
- \( x + y \)
- \( x^2 + y^2 \)
- \( xy + yz + zx \)
一方、\( x – y \) や \( x^2 + 2y \) は、変数の入れ替えによって値が変わるので対称式ではありません。
基本対称式とその性質
2変数や3変数の対称式は、ある種の「基本対称式」と呼ばれる式の組み合わせで表すことができます。
2変数の場合
2変数 \( x \), \( y \) に対する基本対称式は以下の2つです：
- 和：\( x + y \)
- 積：\( xy \)
これらを使うと、例えば次のような式も表現できます：
例： \( x^2 + y^2 = (x + y)^2 – 2xy \)
3変数の場合
3変数 \( x \), \( y \), \( z \) に対する基本対称式は以下の3つです：
- 和：\( x + y + z \)
- 2次の和：\( xy + yz + zx \)
- 積：\( xyz \)
例えば次の式はこれらの組み合わせで表せます：
例： \( x^2 + y^2 + z^2 = (x + y + z)^2 – 2(xy + yz + zx) \)
対称式の基本公式
対称式を扱う上で便利な公式をいくつか紹介します。 これらは変数の対称性を活かして、式を簡単に変形するためのツールです。
基本公式1：2乗和の展開
\[ x^2 + y^2 = (x + y)^2 – 2xy \]
基本公式2：3変数の2乗和
\[ x^2 + y^2 + z^2 = (x + y + z)^2 – 2(xy + yz + zx) \]
基本公式3：立方和の公式
\[ x^3 + y^3 = (x + y)^3 – 3xy(x + y) \]
基本公式4：対称式の変形（t変数への変換）
2次方程式の解 \( x \), \( y \) に対して、係数を用いて対称式を表現する方法も重要です。例えば：
\( x + y = -\frac{b}{a},\quad xy = \frac{c}{a} \)
このようにすると、対称式を解の係数だけで表現でき、計算が容易になります。
対称式の例題
例題1：2変数の対称式
\( x + y = 5, xy = 6 \) のとき、\( x^2 + y^2 \) の値を求めよ。
解： \[ x^2 + y^2 = (x + y)^2 – 2xy = 25 – 12 = 13 \]
例題2：3変数の対称式
\( x + y + z = 6,\quad xy + yz + zx = 11 \) のとき、\( x^2 + y^2 + z^2 \) の値を求めよ。
解： \[ x^2 + y^2 + z^2 = (x + y + z)^2 – 2(xy + yz + zx) = 36 – 22 = 14 \]
例題3：立方和を求める
\( x + y = 4, xy = 3 \) のとき、\( x^3 + y^3 \) の値を求めよ。
解： \[ x^3 + y^3 = (x + y)^3 – 3xy(x + y) = 64 – 36 = 28 \]
例題4：2次方程式の解に関する対称式
2次方程式 \( x^2 – 4x + 5 = 0 \) の解を \( \alpha, \beta \) としたとき、\( \alpha^3 + \beta^3 \) を求めよ。
解： \[ \alpha + \beta = 4,\quad \alpha\beta = 5 \\ \alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)^3 – 3\alpha\beta(\alpha + \beta) = 64 – 60 = 4 \]
発展的な対称式の活用
高校数学では、対称式の利用は以下のような応用にもつながります。
・因数分解への応用
複雑な式でも、対称式を用いることで因数分解が容易になることがあります。 たとえば、 \[ x^3 + y^3 + z^3 – 3xyz = (x + y + z)(x^2 + y^2 + z^2 – xy – yz – zx) \] のように、対称式の組み合わせによる展開・因数分解はよく使われます。
・数学オリンピックや入試問題
高度な問題でも、対称式の構造を見抜くことで大きく簡単化できる場合があります。特に整数問題や多項式の対称性を問う問題で非常に有効です。
・解の存在に関する議論
例えば、ある多項式の根が実数であるかどうかを判断する際、対称性を使って式を整理することがあります。
高校数学の要：対称式の基本公式と例題で徹底理解！
目次
対称式とは？
対称式とは、変数 \( x \), \( y \), \( z \) などを入れ替えても値が変わらない式のことを指します。 たとえば、次のような式はすべて対称式です：
- \( x + y \)
- \( x^2 + y^2 \)
- \( xy + yz + zx \)
一方、\( x – y \) や \( x^2 + 2y \) は、変数の入れ替えによって値が変わるので対称式ではありません。
基本対称式とその性質
2変数や3変数の対称式は、ある種の「基本対称式」と呼ばれる式の組み合わせで表すことができます。
2変数の場合
2変数 \( x \), \( y \) に対する基本対称式は以下の2つです：
- 和：\( x + y \)
- 積：\( xy \)
これらを使うと、例えば次のような式も表現できます：
例： \( x^2 + y^2 = (x + y)^2 – 2xy \)
3変数の場合
3変数 \( x \), \( y \), \( z \) に対する基本対称式は以下の3つです：
- 和：\( x + y + z \)
- 2次の和：\( xy + yz + zx \)
- 積：\( xyz \)
例えば次の式はこれらの組み合わせで表せます：
例： \( x^2 + y^2 + z^2 = (x + y + z)^2 – 2(xy + yz + zx) \)
対称式の基本公式
対称式を扱う上で便利な公式をいくつか紹介します。 これらは変数の対称性を活かして、式を簡単に変形するためのツールです。
基本公式1：2乗和の展開
\[ x^2 + y^2 = (x + y)^2 – 2xy \]
基本公式2：3変数の2乗和
\[ x^2 + y^2 + z^2 = (x + y + z)^2 – 2(xy + yz + zx) \]
基本公式3：立方和の公式
\[ x^3 + y^3 = (x + y)^3 – 3xy(x + y) \]
基本公式4：対称式の変形（t変数への変換）
2次方程式の解 \( x \), \( y \) に対して、係数を用いて対称式を表現する方法も重要です。例えば：
\( x + y = -\frac{b}{a},\quad xy = \frac{c}{a} \)
このようにすると、対称式を解の係数だけで表現でき、計算が容易になります。
対称式の例題
例題1：2変数の対称式
\( x + y = 5, xy = 6 \) のとき、\( x^2 + y^2 \) の値を求めよ。
解： \[ x^2 + y^2 = (x + y)^2 – 2xy = 25 – 12 = 13 \]
例題2：3変数の対称式
\( x + y + z = 6,\quad xy + yz + zx = 11 \) のとき、\( x^2 + y^2 + z^2 \) の値を求めよ。
解： \[ x^2 + y^2 + z^2 = (x + y + z)^2 – 2(xy + yz + zx) = 36 – 22 = 14 \]
例題3：立方和を求める
\( x + y = 4, xy = 3 \) のとき、\( x^3 + y^3 \) の値を求めよ。
解： \[ x^3 + y^3 = (x + y)^3 – 3xy(x + y) = 64 – 36 = 28 \]
例題4：2次方程式の解に関する対称式
2次方程式 \( x^2 – 4x + 5 = 0 \) の解を \( \alpha, \beta \) としたとき、\( \alpha^3 + \beta^3 \) を求めよ。
解： \[ \alpha + \beta = 4,\quad \alpha\beta = 5 \\ \alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)^3 – 3\alpha\beta(\alpha + \beta) = 64 – 60 = 4 \]
発展的な対称式の活用
高校数学では、対称式の利用は以下のような応用にもつながります。
・因数分解への応用
複雑な式でも、対称式を用いることで因数分解が容易になることがあります。 たとえば、 \[ x^3 + y^3 + z^3 – 3xyz = (x + y + z)(x^2 + y^2 + z^2 – xy – yz – zx) \] のように、対称式の組み合わせによる展開・因数分解はよく使われます。
・数学オリンピックや入試問題
高度な問題でも、対称式の構造を見抜くことで大きく簡単化できる場合があります。特に整数問題や多項式の対称性を問う問題で非常に有効です。
・解の存在に関する議論
例えば、ある多項式の根が実数であるかどうかを判断する際、対称性を使って式を整理することがあります。
まとめ
対称式は、ただの「見た目が同じ式」ではなく、代数的な性質や構造を反映した非常に強力なツールです。基本公式や変形方法をしっかりと身につけることで、多くの問題が驚くほど簡単に解けるようになります。例題をたくさん解いて、対称式の扱いに慣れていきましょう。
まとめ
対称式は、ただの「見た目が同じ式」ではなく、代数的な性質や構造を反映した非常に強力なツールです。基本公式や変形方法をしっかりと身につけることで、多くの問題が驚くほど簡単に解けるようになります。例題をたくさん解いて、対称式の扱いに慣れていきましょう。
