高校生にもわかる！顕示選好の弱公理を徹底解説

顕示選好の弱公理とは？基本の理解

経済学では、人がどのように物を選ぶか（選好といいます）を研究します。選好とは、「どちらの品物が好きか」を表す考え方です。例えば、リンゴとバナナがあったとき、リンゴのほうが好きなら「リンゴがバナナより好ましい」という選好が成立します。

「顕示選好」とは、実際の行動から人の選好を読み取る方法のことです。たとえば、ある商品Aと商品Bがあるときに「価格や状況のもとでAを選んだ」という行動が、その人はAのほうを好むということを示しています。

その顕示選好が「矛盾なく合理的」であるために、守るべきルールの一つが「顕示選好の弱公理（Weak Axiom of Revealed Preference）」です。これを理解すると、消費者の行動がどう理論的に説明できるかが見えてきます。

顕示選好の弱公理は、簡単に言うと「もしある商品Aが商品Bより選ばれたなら、BがAより好ましいとは言えない」というルールです。これにより、選好に矛盾が起こらないようにします。

もう少し数学的に書くと、商品AとBのセットがあり、実際に価格や予算の条件のもとでAが選ばれた（AはBより「顕示的に好ましい」）とします。このとき、逆にBが選ばれた場合、AがBより好ましいとは言えません。

具体的には、価格ベクトル \( p \) と所得 \( I \) があり、選択された商品ベクトル \( x \)、もう一つの商品ベクトル \( y \) が存在するとき、

\( p \cdot x \leq I \quad \text{かつ} \quad p \cdot y \leq I \)

で、\( x \) が選ばれた（つまり、\( x \) は予算内の中で選ばれた商品）とします。このとき、もし \( y \) が後に別の価格・所得条件で選ばれたら、元の条件では \( y \) は \( x \) より好ましいとは言えません。

例を使って考えてみましょう。あなたはリンゴとオレンジのどちらかを買うとします。

– ある日、リンゴ1個が100円、オレンジ1個が100円のとき、あなたはリンゴを1個買いました。 – 別の日に、リンゴ1個が120円、オレンジ1個が80円になり、あなたはオレンジを1個買いました。

ここで顕示選好の弱公理は、「もし最初にリンゴを選んだのなら、最初の価格でオレンジはリンゴより安いから買わなかった。だから、オレンジのほうがリンゴより好ましいとは言えない」という意味になります。もしオレンジのほうが好ましいなら、最初の価格条件でもオレンジを選ぶはずだからです。

このように、過去の選択を基にして「どちらが好ましいか」を合理的に推測できるのが顕示選好の弱公理の狙いです。

顕示選好の弱公理は、消費者理論の基本的な枠組みの一つです。これが成り立つことで、消費者の選好が合理的で一貫性があると判断できます。

たとえば、経済学者は市場での消費行動を分析する際、この公理が守られているかどうかをチェックします。もし消費者の行動がこの公理に違反するなら、理論的には「矛盾した選択をしている」とされます。

これにより、消費者の需要関数や価格反応をモデル化しやすくなり、経済政策の効果予測やマーケティング戦略の構築にも役立ちます。

数学的には、次のように表現されます。複数の価格・所得条件 \( (p^t, I^t) \) と対応する選択商品 \( x^t \) があるとします。ここで、各条件は消費者の予算制約を表し、\( p^t \cdot x^t \leq I^t \) が成立します。

顕示選好の弱公理は、任意の時点 \( s \) と \( t \) について、

\[ \text{もし} \quad p^s \cdot x^s \leq I^s \quad \text{かつ} \quad p^s \cdot x^t \leq I^s \quad \text{であり、かつ} \quad x^s \neq x^t, \]

\[ \text{ならば} \quad p^t \cdot x^t < I^t \quad \text{でなければならない} \]

つまり、ある予算下で選ばれた商品 \( x^s \) が、別の条件で予算内にある \( x^t \) よりも好ましいと明示されているなら、逆はありえないということです。

この条件は選好の一貫性を保証し、消費者行動を合理的に説明するための重要な基礎となります。

このルールを理解すると、消費者の選択行動や経済モデルの合理性を深く理解することができます。高校生の皆さんも身近な買い物の例で考えながら学んでみてください。