【高校生向け】リスクプレミアムと期待効用をわかりやすく徹底解説！
このページでは、「リスクプレミアム」や「期待効用」といった経済学の重要な概念について、高校生にもわかるように丁寧に解説していきます。数学の知識も少し使いますが、できるだけ噛み砕いて説明します。
目次
1. リスクと不確実性とは？
まず最初に、「リスク」と「不確実性」の違いについて理解しましょう。
- リスク（risk）: 結果がいくつかあることがわかっていて、それぞれの確率もわかっている状態。
- 不確実性（uncertainty）: 結果はわかっているかもしれないが、その確率がわからない状態。
たとえば、サイコロを振って出た目によってお金がもらえるゲームは「リスク」のある状況です。1〜6の目が出る確率はすべて \( \frac{1}{6} \) だとわかっているからです。
2. 効用と期待効用とは？
経済学では、お金や財を手に入れることによって得られる「満足度」を「効用（utility）」と呼びます。人は効用を最大にするように行動すると仮定します。
効用は数式で書くこともできます。たとえば、お金 \( x \) に対する効用が \( u(x) \) と書けるとします。
そして、リスクのある状況では、効用の期待値、つまり「期待効用（expected utility）」を考えます。これは次のような数式で表されます：
\[ \text{期待効用} = \sum_{i} p_i \cdot u(x_i) \]
ここで、
- \( x_i \)：それぞれの結果（お金の額など）
- \( p_i \)：その結果になる確率
- \( u(x_i) \)：その結果の効用
つまり、「得られるかもしれない効用」の平均を考えるわけです。
3. 危険回避とその意味
多くの人は、同じ金額をもらえるなら「確実にもらえる方」が「賭けに勝ってもらえるより」好きです。これを危険回避的（リスク回避的）な行動といいます。
数学的には、効用関数 \( u(x) \) が凹型であれば、人はリスクを避ける傾向があります。たとえば次のような形です：
\[ u(x) = \sqrt{x} \quad \text{や} \quad u(x) = \log(x) \]
これは、100万円を持っている人にとって、さらに1万円増える効用はそれほど大きくないけれど、10万円しか持っていない人にとっては1万円の価値が大きく感じられる、という現象を表します。
4. リスクプレミアムとは？
さて、ここでリスクプレミアム（risk premium）の話に入ります。
リスクプレミアムとは、「リスクのある選択肢ではなく、確実な金額を選ぶ場合、どれくらい少ない金額なら満足できるか」を示す金額の差のことです。
たとえば、次のような状況を考えてください：
- 50%の確率で100万円、50%の確率で0円もらえる。
- このゲームの期待値は \( 0.5 \times 100 + 0.5 \times 0 = 50 \) 万円。
しかし、ある人がこのゲームの代わりに「40万円を確実にもらえるなら、それを選ぶ」と言ったとしましょう。このとき、
- この人にとっての「確実同等額（certainty equivalent）」は40万円。
- リスクプレミアムは \( 50 – 40 = 10 \) 万円。
つまり、「この人は10万円分のリスクを回避したい」と考えているわけです。
5. 具体例で学ぼう
もっと具体的に数式で見てみましょう。
ある人の効用関数が次のように与えられているとします：
\[ u(x) = \sqrt{x} \]
この人が次のくじに直面しているとします：
- 50%の確率で100万円
- 50%の確率で0円
このときの期待効用は：
\[ EU = 0.5 \cdot u(100) + 0.5 \cdot u(0) = 0.5 \cdot \sqrt{100} + 0.5 \cdot \sqrt{0} = 0.5 \cdot 10 + 0 = 5 \]
では、この人にとって「確実にもらえる金額で効用が5になる金額」はいくらでしょうか？
\[ u(x) = 5 \Rightarrow \sqrt{x} = 5 \Rightarrow x = 25 \]
つまり、この人は「25万円を確実にもらえるなら、くじをやらない」と考えているということです。よって、
- 期待値 = 50万円
- 確実同等額 = 25万円
- リスクプレミアム = \( 50 – 25 = 25 \) 万円
この25万円がリスクプレミアムです。
6. まとめ
- 「リスク」とは確率がわかっている不確実性。
- 「期待効用」は、効用の確率的な平均。
- 「危険回避的」な人は、確実な選択を好む。
- 「リスクプレミアム」は、リスクのある選択と確実な選択の効用の差をお金で表したもの。
これらは保険や投資、労働市場など、経済のさまざまな分野で使われるとても大切な考え方です。高校の数学と論理を使って理解できるので、ぜひこの機会に身につけておきましょう！