【完全版】三倍角の公式をマスターする：基礎から応用まで高校数学レベルで徹底解説！
目次
三倍角の公式とは
三倍角の公式とは、角度が3倍になった三角関数の値を、元の角度を使って表す公式のことです。たとえば、\( \sin(3\theta) \) や \( \cos(3\theta) \) を \( \sin(\theta) \) や \( \cos(\theta) \) を使って表すのが三倍角の公式です。
これは、数学IIIや大学入試の範囲でも登場し、複雑な式の変形や三角関数の合成、証明問題において重要な役割を果たします。
三倍角の公式の導出方法
三倍角の公式は加法定理と二倍角の公式を用いて導出することができます。ここでは \( \sin(3\theta) \) の公式を例に導出してみましょう。
ステップ1：加法定理の利用
まず、次の加法定理を用います：
\[ \sin(a + b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b \]
これを使って、まず \( \sin(3\theta) = \sin(2\theta + \theta) \) を展開します：
\[ \sin(3\theta) = \sin(2\theta)\cos(\theta) + \cos(2\theta)\sin(\theta) \]
ステップ2：二倍角の公式を代入
ここで二倍角の公式を代入します：
- \( \sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta \)
- \( \cos(2\theta) = \cos^2\theta – \sin^2\theta \)
すると、次のようになります：
\[ \sin(3\theta) = (2\sin\theta\cos\theta)\cos\theta + (\cos^2\theta – \sin^2\theta)\sin\theta \]
ステップ3：整理
\[ \sin(3\theta) = 2\sin\theta\cos^2\theta + \cos^2\theta\sin\theta – \sin^3\theta \]
\[ = 3\sin\theta\cos^2\theta – \sin^3\theta \]
\[ = 3\sin\theta(1 – \sin^2\theta) – \sin^3\theta \]
\[ = 3\sin\theta – 4\sin^3\theta \]
以上より、
\[ \boxed{\sin(3\theta) = 3\sin\theta – 4\sin^3\theta} \]
具体的な三倍角の公式
三角関数それぞれについての三倍角の公式は以下の通りです：
- \( \sin(3\theta) = 3\sin\theta – 4\sin^3\theta \)
- \( \cos(3\theta) = 4\cos^3\theta – 3\cos\theta \)
- \( \tan(3\theta) = \frac{3\tan\theta – \tan^3\theta}{1 – 3\tan^2\theta} \)
これらの公式は、三角関数の合成や変換、証明問題で頻出です。
例題で理解を深めよう
例題1：三倍角の公式を使って値を求める
\( \theta = 30^\circ \) のとき、\( \sin(3\theta) \) の値を三倍角の公式を使って求めてみましょう。
\[ \sin(3\theta) = 3\sin\theta – 4\sin^3\theta \]
\[ \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} \]
\[ \Rightarrow \sin(90^\circ) = 3 \cdot \frac{1}{2} – 4 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{3}{2} – \frac{1}{2} = 1 \]
実際に \( \sin(90^\circ) = 1 \) なので、正しいことがわかります。
例題2：式の変形に利用
次の式を三倍角の形に変形してください：
\[ 3\sin x – 4\sin^3 x \]
これはそのまま、三倍角の公式： \[ \sin(3x) \] と等しいため、
\[ 3\sin x – 4\sin^3 x = \sin(3x) \]
例題3：証明問題
次の恒等式を証明せよ： \[ \cos(3x) = 4\cos^3 x – 3\cos x \]
右辺を展開：
\[ 4\cos^3 x – 3\cos x \]
これは三倍角の公式の形そのものなので、証明完了です。
三倍角の公式の応用例
応用1：三角方程式の解法
三倍角の公式を使って、次のような方程式を解くことができます：
\[ 3\sin x – 4\sin^3 x = \frac{1}{2} \]
\[ \sin(3x) = \frac{1}{2} \Rightarrow 3x = 30^\circ, 150^\circ, \dots \Rightarrow x = 10^\circ, 50^\circ, \dots \]
応用2：グラフの形状分析
関数 \( y = \sin(3x) \) のグラフを描く際、三倍角の公式を使ってその変形を解析的に行うことが可能です。
また、微分を行う際にも三倍角の公式が役立つことがあります。
まとめと学習のポイント
- 三倍角の公式は加法定理と二倍角の公式から導出できる。
- 公式は丸暗記ではなく、導出方法を理解しておくことが重要。
- 入試では、変形・証明・値の計算といった形で頻出。
- 具体例を使って繰り返し練習することで定着が進む。
三倍角の公式は一見複雑ですが、基礎から順を追って理解していくことで、しっかりと使いこなせるようになります。ぜひ例題を何度も解いて、定着を図りましょう。
