目次

• はじめに：この恒等式の意味
• 成り立つ条件は？
• 証明してみよう
• 具体例で確認
• 応用問題での使い方
• まとめ

はじめに：この恒等式の意味

高校数学において、三角関数の公式や恒等式にはさまざまなものがありますが、
その中でも少し異彩を放つのが次の恒等式です：

\\[ \tan A + \tan B + \tan C = \tan A \tan B \tan C \\]

この式は、単なる覚えるべき公式ではなく、条件付きで成り立つ美しい恒等式です。
本記事では、この式の意味・成り立つ条件・証明・具体例・応用まで、徹底的に解説します。

成り立つ条件は？

この恒等式は、任意の三角形の内角に対して成り立つわけではありません。
実は、以下のような条件があります：

• \\( A + B + C = \pi \\)（三角形の内角の和）
• 各角 \\( A, B, C \\) は、90度（\\( \frac{\pi}{2} \\)）であってはならない（\\( \tan \theta \\) が定義されないため）

この条件は、三角形の内角に適用すると自然に満たされるため、三角形の内角であればこの式は成立します。

証明してみよう

三角形の内角 \\( A, B, C \\) が次の関係を持つとしましょう：

\\[ A + B + C = \pi \\]

このとき、三角関数の加法定理を使って、以下のように変形していきます。

ステップ1：恒等式を変形する

左辺：\\( \tan A + \tan B + \tan C \\)
右辺：\\( \tan A \tan B \tan C \\)

ステップ2：三角形の内角和を使う

三角形の内角和 \\( A + B + C = \pi \\) より、\\( C = \pi – A – B \\)

ステップ3：\\( \tan(\pi – A – B) \\) を考える

\\[ \tan(\pi – A – B) = -\tan(A + B) \\]

したがって、\\( \tan C = -\tan(A + B) \\)

ステップ4：\\( \tan(A + B) \\) の公式を使う

\\[ \tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 – \tan A \tan B} \\]

これにより、

\\[ \tan C = -\frac{\tan A + \tan B}{1 – \tan A \tan B} \\]

ステップ5：両辺に \\( 1 – \tan A \tan B \\) を掛けて整理

左辺：\\( \tan A + \tan B + \tan C \\)
\\[ = \tan A + \tan B -\frac{\tan A + \tan B}{1 – \tan A \tan B} \\]

共通分母を取ると：

\\[ \frac{(\tan A + \tan B)(1 – \tan A \tan B) – (\tan A + \tan B)}{1 – \tan A \tan B} \\]

\\[ = \frac{(\tan A + \tan B)(1 – \tan A \tan B – 1)}{1 – \tan A \tan B} = \frac{-(\tan A + \tan B)\tan A \tan B}{1 – \tan A \tan B} \\]

一方、\\( \tan A \tan B \tan C \\) も同様に展開してみると一致することが確認できます。

具体例で確認

例として、次のような三角形の角度を考えてみましょう：

\\( A = 45^\circ, B = 60^\circ, C = 75^\circ \\)

それぞれの \\( \tan \\) の値は以下の通りです：

• \\( \tan 45^\circ = 1 \\)
• \\( \tan 60^\circ = \sqrt{3} \approx 1.732 \\)
• \\( \tan 75^\circ = 2 + \sqrt{3} \approx 3.732 \\)

左辺：\\( 1 + 1.732 + 3.732 = 6.464 \\)
右辺：\\( 1 \times 1.732 \times 3.732 \approx 6.464 \\)

このように、具体的な角度においても恒等式が成り立つことが確認できます。

応用問題での使い方

この恒等式は、三角形の角度の関係を利用して式を簡単にしたり、
角度を求めるときの補助情報として使うことができます。

応用例1： ある三角形の2つの角度がわかっていて、残りの角の \\( \tan \\) を求める問題。

\\[ \tan A = 2,\quad \tan B = 3 \Rightarrow \tan C = ? \\]

\\[ \tan A + \tan B + \tan C = \tan A \tan B \tan C \\]

代入すると：

\\[ 2 + 3 + \tan C = 2 \cdot 3 \cdot \tan C \\]

\\[ 5 + \tan C = 6 \tan C \Rightarrow 5 = 5 \tan C \Rightarrow \tan C = 1 \\]

このように、残りの角の \\( \tan \\) を求めることができます。

まとめ

• \\( \tan A + \tan B + \tan C = \tan A \tan B \tan C \\) は、三角形の内角に対して成り立つ恒等式。
• 条件は \\( A + B + C = \pi \\)、かつ各角が \\( \frac{\pi}{2} \\) でないこと。
• 証明には三角関数の加法定理を用いる。
• 具体例や応用問題を通して理解を深めよう。

高校数学で見逃されがちなこの恒等式、理解すればするほど面白く、
問題演習の中での応用力も高まります。ぜひ覚えておきましょう！