目次

• 逆三角関数とは？
• 定義域と値域
• グラフで理解する逆三角関数
• 具体例で学ぶ逆三角関数
• 逆三角関数と微積分
• まとめ

逆三角関数とは？

三角関数（sin, cos, tan）は、角度を与えるとその比率を返す関数です。逆に、比率から角度を求めたい場合に使うのが逆三角関数です。

それぞれの定義は以下の通りです：

• arcsin（アークサイン）： \\( y = \arcsin(x) \\) は \\( \sin(y) = x \\) を満たす角度 \\( y \\) を返す。
• arccos（アークコサイン）： \\( y = \arccos(x) \\) は \\( \cos(y) = x \\) を満たす角度 \\( y \\) を返す。
• arctan（アークタンジェント）： \\( y = \arctan(x) \\) は \\( \tan(y) = x \\) を満たす角度 \\( y \\) を返す。

定義域と値域

逆三角関数を関数として扱うためには、値が一意に決まるように、元の三角関数の定義域を制限する必要があります。

arcsinの定義域と値域

• 定義域（入力）：\\( -1 \leq x \leq 1 \\)
• 値域（出力）：\\( -\frac{\pi}{2} \leq y \leq \frac{\pi}{2} \\)

arccosの定義域と値域

• 定義域：\\( -1 \leq x \leq 1 \\)
• 値域：\\( 0 \leq y \leq \pi \\)

arctanの定義域と値域

• 定義域：\\( x \in \mathbb{R} \\)
• 値域：\\( -\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2} \\)

グラフで理解する逆三角関数

以下は各逆三角関数のグラフの特徴です：

arcsin(x)

• 滑らかで単調増加
• \\( x = -1 \\) のとき \\( y = -\frac{\pi}{2} \\)、\\( x = 0 \\) のとき \\( y = 0 \\)、\\( x = 1 \\) のとき \\( y = \frac{\pi}{2} \\)

arccos(x)

• 単調減少
• \\( x = -1 \\) のとき \\( y = \pi \\)、\\( x = 0 \\) のとき \\( y = \frac{\pi}{2} \\)、\\( x = 1 \\) のとき \\( y = 0 \\)

arctan(x)

• 滑らかで単調増加
• \\( x \rightarrow \pm\infty \\) のとき、\\( y \rightarrow \pm\frac{\pi}{2} \\)（漸近線あり）

具体例で学ぶ逆三角関数

arcsinの例

• \\( \arcsin(0) = 0 \\)
• \\( \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{6} \\)
• \\( \arcsin(1) = \frac{\pi}{2} \\)

arccosの例

• \\( \arccos(1) = 0 \\)
• \\( \arccos(0) = \frac{\pi}{2} \\)
• \\( \arccos\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{2\pi}{3} \\)

arctanの例

• \\( \arctan(0) = 0 \\)
• \\( \arctan(1) = \frac{\pi}{4} \\)
• \\( \arctan(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3} \\)

逆三角関数と微積分

逆三角関数は、微分・積分でも重要な役割を果たします。

微分

• \\( \frac{d}{dx} \arcsin(x) = \frac{1}{\sqrt{1 – x^2}} \\)
• \\( \frac{d}{dx} \arccos(x) = -\frac{1}{\sqrt{1 – x^2}} \\)
• \\( \frac{d}{dx} \arctan(x) = \frac{1}{1 + x^2} \\)

積分

• \\( \int \frac{1}{\sqrt{1 – x^2}} dx = \arcsin(x) + C \\)
• \\( \int \frac{1}{1 + x^2} dx = \arctan(x) + C \\)

これらは、積分の置換法や三角関数の性質を利用する際にも頻繁に登場します。

まとめ

逆三角関数は、三角関数の値から角度を求めるために不可欠な関数であり、解析学や物理学、工学分野でも広く用いられます。
本記事では、arcsin・arccos・arctanの定義から、定義域・値域、グラフ、例題、微積分への応用までを網羅的に解説しました。

逆三角関数の理解は、より高度な数学の基礎となるため、しっかりと身につけておきましょう。