目次

• 双曲線関数の定義
• 基本的な性質
• グラフの特徴
• 微分と積分
• 恒等式と関係式
• 応用例
• 三角関数との比較

双曲線関数の定義

双曲線関数とは、指数関数を用いて定義される関数群であり、以下のように定義されます：

• \(\sinh x = \frac{e^x – e^{-x}}{2}\)
• \(\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}\)
• \(\tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x} = \frac{e^x – e^{-x}}{e^x + e^{-x}}\)

これらの関数は、三角関数に似た性質を持ちつつも、定義には虚数単位を用いず、実数上で完結します。

基本的な性質

• \(\sinh(-x) = -\sinh x\)（奇関数）
• \(\cosh(-x) = \cosh x\)（偶関数）
• \(\tanh(-x) = -\tanh x\)（奇関数）
• \(\cosh^2 x – \sinh^2 x = 1\)
• \(|\tanh x| < 1\)（任意の実数 \(x\) に対して）

グラフの特徴

双曲線関数のグラフは以下のような特徴を持ちます：

• \(\sinh x\)：原点を通る滑らかなS字型曲線で、左右対称ではなく、指数的に発散します。
• \(\cosh x\)：原点付近で最小値1を取り、左右対称でU字型の曲線を描きます。
• \(\tanh x\)：S字型で、左右に向かって漸近的に\(\pm1\)に近づきます。

微分と積分

微分：

• \(\frac{d}{dx} \sinh x = \cosh x\)
• \(\frac{d}{dx} \cosh x = \sinh x\)
• \(\frac{d}{dx} \tanh x = 1 – \tanh^2 x = \frac{1}{\cosh^2 x}\)

積分：

• \(\int \sinh x\,dx = \cosh x + C\)
• \(\int \cosh x\,dx = \sinh x + C\)
• \(\int \tanh x\,dx = \ln|\cosh x| + C\)

恒等式と関係式

三角関数に類似する恒等式がいくつか存在します：

• \(\cosh^2 x – \sinh^2 x = 1\)
• \(1 – \tanh^2 x = \frac{1}{\cosh^2 x}\)
• \(\sinh(x \pm y) = \sinh x \cosh y \pm \cosh x \sinh y\)
• \(\cosh(x \pm y) = \cosh x \cosh y \pm \sinh x \sinh y\)

また、指数関数による定義を使えば、以下のような合成式も得られます：

• \(\tanh^{-1} x = \frac{1}{2} \ln\left(\frac{1 + x}{1 – x}\right)\)（ただし \(|x| < 1\)）

応用例

双曲線関数はさまざまな分野で登場します：

• 物理学： つり合いを保ったケーブル（懸垂線）などの形状は \(\cosh x\) で表現されます。
• 相対性理論： ローレンツ変換において双曲線関数が登場し、時空の幾何構造と密接に関わります。
• 工学： 熱伝導や波動方程式の解に双曲線関数が現れる場合があります。
• 金融数学： オプション価格モデルなどで指数関数を用いた双曲線関数的な挙動が生じることがあります。

三角関数との比較

双曲線関数は三角関数とよく似た形式を持ちますが、以下の点が異なります：

項目	三角関数	双曲線関数
定義	単位円上の点	双曲線上の点
周期性	あり（例：\(\sin x\)は周期 \(2\pi\)）	なし（指数的に発散）
恒等式	\(\cos^2 x + \sin^2 x = 1\)	\(\cosh^2 x – \sinh^2 x = 1\)
微分	\(\frac{d}{dx} \sin x = \cos x\)	\(\frac{d}{dx} \sinh x = \cosh x\)

このように、双曲線関数は三角関数に似た構造を持ちながらも、異なる応用範囲や数学的性質を有しています。