完全マスター：sin, cos の n 乗積分を徹底解説
目次
はじめに
三角関数の n 乗の積分は、大学初級〜中級の微積分でよく登場する重要なテーマです。 特に、\( \int \sin^n x \, dx \)、\( \int \cos^n x \, dx \)、そして \( \int \sin^n x \cos^m x \, dx \) のような形は 頻出でありながらも、計算に工夫が必要です。 本記事では、それらの積分計算を徹底的に解説し、漸化式や置換積分を使ったアプローチ、さらには応用例まで紹介します。
基本公式と準備
まずは積分に用いる主要な三角恒等式を確認しましょう：
- \( \sin^2 x = \frac{1 – \cos(2x)}{2} \)
- \( \cos^2 x = \frac{1 + \cos(2x)}{2} \)
- \( \sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin(2x) \)
これらは偶数乗の処理や積の形において非常に有用です。 また、次の漸化式も頻繁に使われます：
偶数 \( n \) に対して、定積分（0からπまで）に関して次の漸化式が成り立ちます：
\[ \int_0^{\pi} \sin^n x \, dx = \frac{n – 1}{n} \int_0^{\pi} \sin^{n – 2} x \, dx \]
これは部分積分を用いることで導出可能です。次の節で詳しく説明します。
\( \sin^n x \) の積分
\( n \) が偶数か奇数かによってアプローチが異なります。
n が奇数の場合
奇数の場合は、1つの \( \sin x \) を外に出して、残りを \( \sin^2 x = 1 – \cos^2 x \) に変換します。 例：
\[ \int \sin^3 x \, dx = \int \sin x (1 – \cos^2 x) \, dx \]
ここで \( u = \cos x \) と置換すると：
\[ du = -\sin x \, dx \Rightarrow -\int (1 – u^2) \, du = -u + \frac{u^3}{3} + C = -\cos x + \frac{\cos^3 x}{3} + C \]
n が偶数の場合
偶数の場合は、半角公式を使ってすべて \( \cos(2x) \) の形に変換します。
例えば： \[ \int \sin^2 x \, dx = \int \frac{1 – \cos(2x)}{2} \, dx = \frac{x}{2} – \frac{\sin(2x)}{4} + C \]
\( \sin^4 x \) なら：
\[ \sin^4 x = \left( \frac{1 – \cos(2x)}{2} \right)^2 = \frac{1}{4}(1 – 2\cos(2x) + \cos^2(2x)) \]
さらに \( \cos^2(2x) = \frac{1 + \cos(4x)}{2} \) を使えば計算可能です。
\( \cos^n x \) の積分
基本的なアプローチは \( \sin^n x \) の場合とほぼ同様です。
n が奇数の場合
\[ \int \cos^3 x \, dx = \int \cos x (1 – \sin^2 x) \, dx \]
ここで \( u = \sin x \) と置換して： \[ du = \cos x \, dx \Rightarrow \int (1 – u^2) \, du = u – \frac{u^3}{3} + C = \sin x – \frac{\sin^3 x}{3} + C \]
n が偶数の場合
\[ \int \cos^2 x \, dx = \int \frac{1 + \cos(2x)}{2} \, dx = \frac{x}{2} + \frac{\sin(2x)}{4} + C \]
\( \sin^n x \cos^m x \) の積分
この形では、\( n \) または \( m \) のいずれかが奇数か偶数かでアプローチが変わります。
n または m が奇数の場合
一方を1つだけ外に出し、他方を二乗の形にして置換積分します。
例： \[ \int \sin^3 x \cos^2 x \, dx = \int \sin x (1 – \cos^2 x) \cos^2 x \, dx \]
\( u = \cos x \) と置換すれば： \[ du = -\sin x \, dx \Rightarrow -\int (1 – u^2) u^2 \, du = -\int (u^2 – u^4) \, du = -\left( \frac{u^3}{3} – \frac{u^5}{5} \right) + C \] \[ = -\left( \frac{\cos^3 x}{3} – \frac{\cos^5 x}{5} \right) + C \]
両方が偶数の場合
\[ \sin^2 x \cos^2 x = \frac{1}{4} \sin^2(2x) \]
\[ \int \sin^2 x \cos^2 x \, dx = \frac{1}{4} \int \sin^2(2x) \, dx = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \left( x – \frac{\sin(4x)}{4} \right) + C = \frac{x}{8} – \frac{\sin(4x)}{32} + C \]
具体例と応用
例1： \( \int_0^{\pi} \sin^6 x \, dx \)
漸化式を使うと： \[ \int_0^{\pi} \sin^6 x \, dx = \frac{5}{6} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} \cdot \pi = \frac{5\pi}{16} \]
例2： \( \int \sin^2 x \cos x \, dx \)
\( u = \sin x \) に置換して： \[ \int u^2 \, du = \frac{u^3}{3} + C = \frac{\sin^3 x}{3} + C \]
まとめ
- 奇数乗の積分では置換積分を活用。
- 偶数乗は半角公式で変形して計算。
- 漸化式を使うことで定積分も効率よく計算可能。
- 積の形では片方が奇数なら置換、両方偶数なら変形。
sin, cos の n 乗積分は一見複雑に見えても、適切な手法を理解すればスムーズに処理できます。 本記事の内容がその理解の助けになれば幸いです。
