【無限級数】ラーベの収束判定法を解説
目次
ラーベの収束判定法とは
ラーベの収束判定法（Raabe’s Test）は、無限級数の収束性を判定するための手法の一つで、比の判定法（ダランベールの判定法）の拡張とみなすことができます。 比の判定法が「境界値1」で判定不能となる場合でも、ラーベの方法を用いれば収束・発散の判断が可能なことがあります。
判定法の定義と式
与えられた正項級数 \( \sum_{n=1}^\infty a_n \) に対して、次の値を考えます：
\[ R_n = n \left( \frac{a_n}{a_{n+1}} – 1 \right) \]
このとき、以下のように判定されます：
- もし \( \lim_{n \to \infty} R_n = L > 1 \) ならば、級数 \( \sum a_n \) は収束する。
- もし \( \lim_{n \to \infty} R_n = L < 1 \) ならば、級数 \( \sum a_n \) は発散する。
- もし \( \lim_{n \to \infty} R_n = 1 \) ならば、判定不能（他の方法を使う必要がある）。
他の収束判定法との比較
ラーベの判定法は、次のように他の収束判定法と比較して位置づけられます：
- 比の判定法（ダランベール）: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = L \] このとき、\( L < 1 \) なら収束、\( L > 1 \) なら発散、\( L = 1 \) は判定不能。
- ラーベの判定法は、上記の「判定不能」なケース（つまり \( L = 1 \)）において威力を発揮します。
具体例で理解する
例1：\( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n (\log n)^2} \)
この級数の各項を \( a_n = \frac{1}{n (\log n)^2} \) とすると、比の判定法では \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} \to 1 \] となり判定不能ですが、ラーベの方法を使えば：
\[ R_n = n \left( \frac{a_n}{a_{n+1}} – 1 \right) = n \left( \frac{n+1}{n} \cdot \left( \frac{\log(n+1)}{\log n} \right)^2 – 1 \right) \]
この極限を評価すると \( R_n \to 1 \) に近づき、こちらでも厳密には判定不能ですが、調和級数との比較や積分判定法を使えば発散とわかります。このように、ラーベ法は「次の一手」を示すきっかけにもなります。
例2：\( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{n^n} \)
ここで \( a_n = \frac{n!}{n^n} \) とします。
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{n! / n^n}{(n+1)! / (n+1)^{n+1}} = \frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1) n^n} = \frac{(n+1)^n}{n^n} \]
これを用いて \[ R_n = n \left( \left( \frac{(n+1)^n}{n^n} \right) – 1 \right) \approx n \left( \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n – 1 \right) \to n (e – 1) \to \infty \]
したがって、\( R_n \to \infty \) なので収束します。
例3：\( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \)
調和級数に対しては、 \[ a_n = \frac{1}{n}, \quad a_{n+1} = \frac{1}{n+1}, \quad \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{n+1}{n} \] \[ R_n = n \left( \frac{n+1}{n} – 1 \right) = n \left( \frac{1}{n} \right) = 1 \]
よって \( R_n = 1 \)、判定不能ですが、調和級数は発散することが知られています。
判定法の証明アイデア
ラーベの判定法は、各項の変化率をより詳細に観察することで、比の判定法では捉えきれない「微妙な差」をとらえるように設計されています。
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} \approx 1 + \frac{c}{n} \] のような形式に帰着する場合、この \( c \) の値が 1 より大きければ収束、1 未満なら発散するという直感を定式化したものです。
実際の証明は、比較判定法（特に \( p \)-級数）との比較や、数列の漸化式の近似などを通じて与えられます。
まとめ
- ラーベの収束判定法は、比の判定法の限界を超える強力なツール。
- 式 \( R_n = n \left( \frac{a_n}{a_{n+1}} – 1 \right) \) を使って、極限を調べる。
- 極限が1より大きければ収束、1より小さければ発散。
- 多くの例で、他の判定法では判断できない場面で有効。
