これで完全理解！Bertrandの収束判定法を基礎から徹底解説
目次
Bertrandの収束判定法とは
Bertrand（ベルトラン）の収束判定法は、無限級数の収束性を調べるための方法のひとつで、特にべき乗対数型の項を持つ級数に対して有効です。よく知られている積分判定法や比較判定法が適用しづらいケースで、Bertrandの判定法が威力を発揮します。
定式化と定理の説明
Bertrandの収束判定法の定理は、次のように定式化されます。
定理（Bertrandの収束判定法）
正の項からなる級数
$$ \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n (\ln n)^p (\ln \ln n)^q} $$
について、次のように収束性が判定されます。
- もし \( p > 1 \) ならば、級数は収束する。
- もし \( p = 1 \) かつ \( q > 1 \) ならば、級数は収束する。
- もし \( p = 1 \) かつ \( q \leq 1 \) または \( p < 1 \) ならば、級数は発散する。
この形式は、一般的な対数階の評価を含む無限級数に対して非常に強力です。
定理の証明（概要）
この定理の証明には、積分判定法と対数関数の増加の性質を用います。以下はその概要です。
級数 $$ \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n (\ln n)^p (\ln \ln n)^q} $$ の収束性は、対応する積分 $$ \int_2^\infty \frac{1}{x (\ln x)^p (\ln \ln x)^q} dx $$ の収束性と一致します（積分判定法）。
この積分の収束性は以下のように決まります。
- \( p > 1 \) の場合、\( (\ln x)^p \) が非常に速く増加するため、分母が急激に大きくなり、積分が収束。
- \( p = 1 \) の場合、\( \ln x \) が打ち消されるため、次に支配的となる \( (\ln \ln x)^q \) の挙動が重要。
- \( q > 1 \) のときに限って、\( \ln \ln x \) の増加により収束が保証される。
これは、関数の増加速度の微妙な違いが、収束と発散の分岐点となる例としても興味深いものです。
具体的な例
例1：\( \sum \frac{1}{n \ln n} \)
この級数は、\( p = 1 \), \( q = 0 \) の場合に該当します。Bertrandの定理によれば、この場合は発散します。
例2：\( \sum \frac{1}{n (\ln n)^2} \)
ここでは \( p = 2 > 1 \) なので、この級数は収束します。
例3：\( \sum \frac{1}{n \ln n (\ln \ln n)^2} \)
\( p = 1 \), \( q = 2 > 1 \) に該当するため、級数は収束します。
例4：\( \sum \frac{1}{n \ln n (\ln \ln n)} \)
\( p = 1 \), \( q = 1 \) のケース。Bertrandの判定法によれば、これは発散します。
他の収束判定法との比較
Bertrandの収束判定法は、次のような他の収束判定法と比較されます。
- 積分判定法： Bertrandの判定法も積分判定法を基礎にしていますが、対数やその多重構造に特化しています。
- 比較判定法： よく似た形の既知の級数との比較に基づきますが、Bertrandの形には適用が難しい場合が多いです。
- Cauchyの根判定法： より一般的な形の級数に使えますが、対数関数が絡むと判定しづらくなります。
したがって、Bertrandの判定法は、べき乗対数型の級数に対する「特化型ツール」と言えます。
まとめ
Bertrandの収束判定法は、次のような特徴を持つ有力な手法です。
- べき乗と対数を含む複雑な項に対して明確な基準を提供する。
- 積分判定法に基づきつつ、複数の変数（\( p \) と \( q \)）により繊細な収束条件を判定できる。
- 発散・収束の閾値が明確なため、応用上の判断基準としても便利。
特に、数学の解析や数列・級数の収束問題を学ぶ学生にとって、Bertrandの判定法を理解しておくことは非常に有益です。
