目次

• ベクトル空間の和の定義
• ベクトル空間の直和の定義
• 和と直和の関係
• 具体例で理解する
• 次元に関する定理
• まとめ

ベクトル空間の和の定義

2つの部分空間 \( U \) と \( W \) がベクトル空間 \( V \) の部分空間であるとき、和 \( U + W \) は次のように定義されます：

\[ U + W = \{ \boldsymbol{u} + \boldsymbol{w} \mid \boldsymbol{u} \in U,\, \boldsymbol{w} \in W \} \]

これは、ベクトル空間 \( V \) 内で、\( U \) と \( W \) に属するベクトルの和全体の集合です。和 \( U + W \) は部分空間になります。

一般に、\( U + W \) は \( U \cup W \) よりも大きな集合であることが多く、\( U \) と \( W \) の両方を「含む最小の部分空間」として理解できます。

ベクトル空間の直和の定義

和に関するさらに強い条件が「直和」です。部分空間 \( U \) と \( W \) の直和 \( U \oplus W \) は、以下の2条件を満たすときに定義されます：

• \( U + W = V \)（すべてのベクトルが和で表せる）
• \( U \cap W = \{ \boldsymbol{0} \} \)（重なりがゼロベクトルだけ）

このとき、任意の \( \boldsymbol{v} \in V \) は 一意的に \( \boldsymbol{v} = \boldsymbol{u} + \boldsymbol{w} \) と書けます（\( \boldsymbol{u} \in U,\, \boldsymbol{w} \in W \)）。

よって、直和は和よりも厳密な構造であると言えます。

和と直和の関係

和 \( U + W \) が直和 \( U \oplus W \) になるためには、交わりがゼロベクトルのみであることが必要です。つまり、

\[ U \cap W = \{ \boldsymbol{0} \} \quad \Rightarrow \quad U + W = U \oplus W \]

ただし、直和の記号を使うには「一意性」があることが前提です。和の記述では一意性は問われません。

具体例で理解する

例1：\( \mathbb{R}^2 \) の直交軸

\[ U = \{ (x, 0) \mid x \in \mathbb{R} \}, \quad W = \{ (0, y) \mid y \in \mathbb{R} \} \]

これはそれぞれ \( x \)-軸、\( y \)-軸を表します。和は次のようになります：

\[ U + W = \mathbb{R}^2 \]

また、\( U \cap W = \{ (0,0) \} \) なので、

\[ \mathbb{R}^2 = U \oplus W \]

例2：交わりを持つ空間

\[ U = \text{span}\{ (1,1) \}, \quad W = \text{span}\{ (2,2) \} \]

この場合、\( U \) と \( W \) は同じ1次元空間を張っており、\( U = W \)、交わりは自分自身です。 よって：

\[ U + W = U = W, \quad U \cap W = U \ne \{ \boldsymbol{0} \} \]

このとき、直和ではありません。

次元に関する定理

部分空間 \( U \), \( W \) に対して次の関係が成り立ちます：

\[ \dim(U + W) = \dim U + \dim W – \dim(U \cap W) \]

特に、\( U \cap W = \{ \boldsymbol{0} \} \) のときは、

\[ \dim(U \oplus W) = \dim U + \dim W \]

これにより、空間が直和になっているかどうかを次元の観点から判断できます。

まとめ

• ベクトル空間の「和」は、2つの部分空間を含む最小の部分空間。
• 「直和」は、和に加えて交わりがゼロベクトルのみであり、一意分解が可能。
• 具体例や次元の定理を使うことで、直和の判定がしやすくなる。

線形代数の基礎として非常に重要な概念なので、しっかりと理解しておきましょう。