正規行列とは？定義・性質と証明
線形代数において「正規行列（normal matrix）」は、非常に重要な行列のクラスの1つです。本記事では、正規行列の定義、基本的な性質、証明、そして具体例を交えながら、初学者でもわかるよう丁寧に解説していきます。
目次
正規行列の定義
\( n \times n \) の複素行列 \( A \) に対して、共役転置 \( A^* \) を用いて次の関係が成り立つとき、\( A \) を正規行列（normal matrix）と呼びます。
\[ AA^* = A^*A \]
つまり、正規行列とは、元の行列とその共役転置が可換であるような行列です。
正規行列の基本的な性質
- 正規行列は固有ベクトルによって直交対角化できる。
- 正規行列の固有ベクトルは直交する。
- エルミート行列、斉次ユニタリ行列、対角行列はすべて正規行列の特別な例である。
- 正規行列のスペクトル定理が成り立つ（後述）。
正規行列の性質の証明
固有ベクトルが直交することの証明（概略）
\( A \) が正規行列で、固有値 \( \lambda, \mu \)、対応する固有ベクトルを \( \boldsymbol{x}, \boldsymbol{y} \) とします。 \[ A\boldsymbol{x} = \lambda\boldsymbol{x}, \quad A\boldsymbol{y} = \mu\boldsymbol{y} \] \( A \) が正規であることから、 \[ \langle A\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y} \rangle = \langle \boldsymbol{x}, A^*\boldsymbol{y} \rangle \] よって、 \[ \langle \lambda\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y} \rangle = \langle \boldsymbol{x}, \overline{\mu}\boldsymbol{y} \rangle \] \[ \lambda \langle \boldsymbol{x}, \boldsymbol{y} \rangle = \overline{\mu} \langle \boldsymbol{x}, \boldsymbol{y} \rangle \Rightarrow (\lambda – \overline{\mu}) \langle \boldsymbol{x}, \boldsymbol{y} \rangle = 0 \] したがって \( \lambda \ne \mu \) なら \( \langle \boldsymbol{x}, \boldsymbol{y} \rangle = 0 \)、すなわち直交する。
具体的な正規行列の例
例1: 対角行列
\[ A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \] このような行列は \( AA^* = A^*A = A^2 \) なので正規行列です。
例2: エルミート行列
\[ A = \begin{pmatrix} 0 & i \\ -i & 0 \end{pmatrix} \] この行列は \( A^* = A \) なので \( AA^* = A^2 = A^*A \) が成り立ちます。よって正規行列です。
例3: ユニタリ行列
\[ A = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \] このようなユニタリ行列も \( AA^* = A^*A = I \) となるので正規行列です。
例4: 非エルミートでも正規な行列
\[ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \] \( A^* = -A \) より、 \[ AA^* = A(-A) = -A^2 = I = A^*A \] よって正規行列です。
正規行列の対角化とスペクトル定理
正規行列の最大の特徴は、ユニタリ対角化可能であるということです。つまり、正規行列 \( A \) に対して、 \[ U^*AU = D \] の形に変形できるユニタリ行列 \( U \) が存在し、\( D \) は対角行列になります。これをスペクトル定理と呼びます。
実対称行列に対しても類似の定理（直交対角化可能）が成り立ちますが、正規行列では複素数まで拡張されている点がポイントです。
まとめ
- 正規行列とは \( AA^* = A^*A \) を満たす行列である。
- 正規行列はユニタリ対角化可能で、固有ベクトルは直交する。
- エルミート行列やユニタリ行列などはすべて正規行列に含まれる。
- スペクトル定理により、理論的にも応用的にも非常に重要。
線形代数や量子力学、信号処理など多くの分野で登場する正規行列の理解は、数学的素養として非常に役立ちます。ぜひ何度も例題を解いて理解を深めてください。
