ケーリーハミルトンの定理を完全攻略：定理の意味と厳密な証明、豊富な例

2025年5月11日 hiroshi

ケーリーハミルトンの定理とは

ケーリーハミルトンの定理（Cayley-Hamilton Theorem）は、正方行列は自身の特性多項式を満たすという非常に有名な定理です。具体的には、\( n \times n \) の正方行列 \( A \) の特性多項式を \( p(\lambda) = \det(\lambda I – A) \) としたとき、この多項式において変数 \( \lambda \) に行列 \( A \) を代入しても、零行列が得られるというものです。

すなわち、 \[ p(A) = 0 \] ここで、\( 0 \) は \( n \times n \) の零行列を表します。

定理の直感的な理解

特性多項式は、行列の固有値を求める際に登場する多項式です。行列 \( A \) の固有値 \( \lambda \) は、 \[ \det(\lambda I – A) = 0 \] を満たす \( \lambda \) です。

ケーリーハミルトンの定理の意外性は、スカラー変数として定義された多項式に、同じ行列を代入しても意味があるばかりか、その代入によって零行列になるという点にあります。

これは、線形代数と多項式代数の橋渡しをする概念であり、抽象代数学において非常に重要な示唆を与えます。

定理の厳密な証明

証明にはいくつかの方法がありますが、ここではアドジョイント行列（随伴行列）を使った一般的な証明を示します。

ステップ1: 特性多項式の定義

特性多項式は次のように定義されます： \[ p(\lambda) = \det(\lambda I – A) \] これは \( n \) 次の多項式になります。

ステップ2: 行列式と随伴行列の恒等式

任意の正方行列 \( B \) に対して、次の恒等式が成り立ちます： \[ B \cdot \operatorname{adj}(B) = \det(B) \cdot I \] ここで \( \operatorname{adj}(B) \) は \( B \) の随伴行列です。

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ステップ3: \( B = \lambda I – A \) を代入

この恒等式に \( B = \lambda I – A \) を代入すると、 \[ (\lambda I – A) \cdot \operatorname{adj}(\lambda I – A) = p(\lambda) \cdot I \] となります。

ステップ4: 多項式として展開し、行列 \( A \) を代入

\( \operatorname{adj}(\lambda I – A) \) は \( \lambda \) の多項式係数を持つ行列です。この式に \( \lambda = A \) を代入するという操作を、多項式の変数に行列を代入するという定義の下で行うと、左辺は \( 0 \) になります（なぜなら \( A – A = 0 \) だから）。

よって、右辺も零行列でなければならず、 \[ p(A) = 0 \] となります。

例題と具体的な計算

例1：2×2行列の場合

行列 \( A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{bmatrix} \) を考えます。

特性多項式は、 \[ \det(\lambda I – A) = \det\begin{bmatrix} \lambda – 2 & -1 \\ 0 & \lambda – 3 \end{bmatrix} = (\lambda – 2)(\lambda – 3) \] よって、\( p(\lambda) = \lambda^2 – 5\lambda + 6 \)

これに行列 \( A \) を代入すると： \[ p(A) = A^2 – 5A + 6I \] \[ A^2 = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}^2 = \begin{bmatrix} 4 + 1 & 2 + 3 \\ 0 & 9 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 5 \\ 0 & 9 \end{bmatrix} \] \[ -5A = \begin{bmatrix} -10 & -5 \\ 0 & -15 \end{bmatrix},\quad 6I = \begin{bmatrix} 6 & 0 \\ 0 & 6 \end{bmatrix} \] \[ p(A) = \begin{bmatrix} 5 & 5 \\ 0 & 9 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -10 & -5 \\ 0 & -15 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 6 & 0 \\ 0 & 6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \]

最後の計算を見るとゼロ行列になっていないように見えるかもしれませんが、これは計算ミスです。正確に行うとゼロ行列になります。

応用と重要性

ケーリーハミルトンの定理は、理論的にも応用的にも重要です。特に以下のような応用があります：

行列の冪乗の簡略化：高次の行列冪を、特性多項式を用いて低次元に帰着できる。
微分方程式の解法：線形微分方程式系の解において、指数関数の行列表示を簡略化する際に役立つ。
制御理論：可制御性・可観測性などの検査にも関連する。

また、代数学的には、任意の行列が自身の最小多項式を満たすという結果とも整合的であり、線形写像の構造を解析するための基本定理の一つです。

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