目次

• 固有多項式の定義
• 固有多項式の求め方
• 例題：2×2行列の場合
• 例題：3×3行列の場合
• 固有多項式の性質
• 応用：固有値・対角化との関係

固有多項式の定義

固有多項式（characteristic polynomial）とは、行列の固有値を求めるために用いる多項式のことです。
\( n \times n \) の正方行列 \( A \) に対して、次のように定義されます：

\[ p(\lambda) = \det(\lambda I – A) \]

ここで、

• \( \lambda \)：変数（スカラー）
• \( I \)：\( n \times n \) 単位行列
• \( \det(\cdot) \)：行列式

この多項式の根（ゼロとなる値）が、行列 \( A \) の固有値に対応します。

固有多項式の求め方

手順は次の通りです。

1. \( \lambda I – A \) を計算する。
2. その行列の行列式（determinant）を計算する。
3. 得られた多項式が固有多項式。

例えば、2次元の場合は2次式、3次元なら3次式の多項式になります。

例題：2×2行列の場合

次の行列を考えましょう：

\[ A = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \]

まず、\( \lambda I – A \) を求めます：

\[ \lambda I – A = \begin{pmatrix} \lambda – 4 & -2 \\ -1 & \lambda – 3 \end{pmatrix} \]

次に行列式を計算します：

\[ \det(\lambda I – A) = (\lambda – 4)(\lambda – 3) – (-2)(-1) = \lambda^2 – 7\lambda + 10 \]

したがって、この行列の固有多項式は：

\[ p(\lambda) = \lambda^2 – 7\lambda + 10 \]

この多項式の解（根）である \( \lambda = 5, 2 \) が、行列 \( A \) の固有値です。

例題：3×3行列の場合

次の行列を例にします：

\[ B = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 1 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix} \]

\( \lambda I – B \) を計算すると：

\[ \lambda I – B = \begin{pmatrix} \lambda – 2 & 0 & -1 \\ -1 & \lambda – 3 & 0 \\ 0 & -1 & \lambda – 2 \end{pmatrix} \]

この行列の行列式を計算します。少し複雑ですが、余因子展開などを用いて計算すると：

\[ \det(\lambda I – B) = (\lambda – 2)^2(\lambda – 3) – 1 \]

計算を進めると最終的に：

\[ p(\lambda) = \lambda^3 – 7\lambda^2 + 16\lambda – 12 \]

これが行列 \( B \) の固有多項式になります。

固有多項式の性質

• 固有多項式は \( n \) 次正方行列に対して、次数 \( n \) の多項式になる。
• 係数はすべて行列の成分（実数・複素数）に依存する。
• 固有値の個数は重複度を考慮して \( n \) 個。
• 多項式の根がすべて実数とは限らず、複素数になることもある。

応用：固有値・対角化との関係

固有多項式から得られた固有値は、次のような応用に使われます。

• 固有ベクトルの計算： 固有値ごとに \( (A – \lambda I)\vec{x} = \vec{0} \) を解くことで、対応する固有ベクトルが得られます。
• 行列の対角化： 固有値と固有ベクトルを用いることで、行列 \( A \) を対角行列 \( D \) と可逆行列 \( P \) を使って \( A = PDP^{-1} \) の形に変換可能（ただし条件あり）。
• 行列の冪の計算： 対角化可能な行列ならば、\( A^k = P D^k P^{-1} \) のようにして効率的に累乗が求められる。

このように、固有多項式は線形代数において非常に重要な役割を担っています。