環と可換環の定義

集合 \( R \) に対して、加法 \( + \) と乗法 \( \times \) の二つの二項演算が定義されており、以下の条件を満たすとき、\( R \) は環（ring）と呼ばれます。

1. (R, +) は可換群（アーベル群）である：
   • 結合法則：\( (a + b) + c = a + (b + c) \)
   • 加法単位元の存在：\( a + 0 = 0 + a = a \)
   • 加法逆元の存在：\( a + (-a) = (-a) + a = 0 \)
   • 可換性：\( a + b = b + a \)
2. (R, ×) はモノイドである：
   • 結合法則：\( (a \times b) \times c = a \times (b \times c) \)
   • 乗法単位元の存在：\( a \times 1 = 1 \times a = a \)
3. 分配法則が成り立つ：
   • 左分配法則：\( a \times (b + c) = a \times b + a \times c \)
   • 右分配法則：\( (a + b) \times c = a \times c + b \times c \)

さらに、乗法が可換である、すなわち \( a \times b = b \times a \) が成り立つ場合、\( R \) は可換環（commutative ring）と呼ばれます。

なお、乗法単位元の存在を仮定しない定義もあり、その場合の環を非単位的環と呼びます。

環と可換環の具体例

1. 整数全体の集合 \( \mathbb{Z} \)：

   通常の加法と乗法に関して、\( \mathbb{Z} \) は可換環です。加法単位元は 0、乗法単位元は 1 です。

2. 整数係数多項式全体の集合 \( \mathbb{Z}[x] \)：

   多項式の加法と乗法により、\( \mathbb{Z}[x] \) は可換環となります。加法単位元は 0、乗法単位元は 1 です。

3. 実数上の連続関数全体の集合 \( C(\mathbb{R}) \)：

   関数の加法と乗法（点ごとの加算と乗算）により、\( C(\mathbb{R}) \) は可換環となります。加法単位元はゼロ関数、乗法単位元は恒等関数（常に1を返す関数）です。

4. 実数成分の \( n \times n \) 行列全体の集合 \( M_n(\mathbb{R}) \)：

   行列の加法と乗法により、\( M_n(\mathbb{R}) \) は環となりますが、一般には可換ではありません。加法単位元は零行列、乗法単位元は単位行列です。

5. 3の倍数全体の集合 \( 3\mathbb{Z} \)：

   通常の加法と乗法により、\( 3\mathbb{Z} \) は可換環となりますが、乗法単位元を持ちません。

6. 零環 \( \{0\} \)：

   加法と乗法をともに \( 0 \) と定めることで、零環は可換環となります。加法単位元と乗法単位元が一致する唯一の環です。

環の基本的な性質

環 \( R \) において、以下の性質が成り立ちます：

1. 加法単位元との積： 任意の \( a \in R \) に対して、\( 0 \times a = a \times 0 = 0 \)
2. 乗法単位元の加法逆元との積： 任意の \( a \in R \) に対して、\( (-1) \times a = -a \)
3. 加法単位元と乗法単位元の一意性： 加法単位元 0 と乗法単位元 1 は、それぞれ一意に定まります。