Probitモデルの基本理論

Probitモデルは、二値分類問題におけるイベント発生の確率をモデル化します。基本理論は以下の通りです：

Probitモデル

Probitモデルは以下の式で表されます：

\[ \Phi^{-1}(p) = \beta_0 + \beta_1 x_1 + \beta_2 x_2 + \ldots + \beta_k x_k \]

主要用語：

• \(p\): イベント発生の確率（応答変数）。
• \(\Phi^{-1}(p)\): 累積分布関数（CDF）の逆関数（Probit関数）。
• \(\beta_0, \beta_1, \ldots, \beta_k\): 回帰係数。
• \(x_0, x_1, \ldots, x_k\): 独立変数（特徴量）。

Probit関数：

Probit関数は累積分布関数（CDF）の逆関数であり、以下のように表されます：

\[ \Phi^{-1}(p) = \sqrt{2} \cdot \text{{erf}}^{-1}(2p-1) \]

Probitモデルは最尤法によってパラメータを推定し、最適な回帰係数を得ることを目指します。

Statsmodelsライブラリを使用してProbit(プロビット)モデルを推定

以下は、PythonのStatsmodelsライブラリを使用してProbitモデルを推定する簡単なコード例です。これを用いてProbitモデルについて説明します。

import statsmodels.api as sm
import numpy as np

# ダミーデータ生成
np.random.seed(42)
n = 100
X = np.random.rand(n, 2)
X = sm.add_constant(X)  # 定数項を追加
beta = np.array([1, 2, 3])  # 回帰係数
epsilon = np.random.normal(size=n)  # 誤差項
p = sm.Probit(X @ beta + epsilon > 0).fit()

# Probitモデルの結果表示
print(p.summary())

このコードでは、StatsmodelsのProbitクラスを使用してProbitモデルを推定しています。コードの主な要素は以下の通りです：

1. X = sm.add_constant(X): 定数項をデータ行列に追加します。
2. X @ beta + epsilon > 0: 予測値（確率）が0より大きいかどうかで二値の応答変数を生成します。
3. sm.Probit(): Probitモデルのインスタンスを作成します。
4. fit(): モデルをデータに適合させ、推定を実行します。

最後に、summary()メソッドを使用してProbitモデルの結果を表示しています。

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