モーメント母関数

2023年3月30日 hiroshi コメント 0件のコメント

離散確率変数のモーメント母関数（積率母関数）

モーメント母関数（積率母関数）により期待値や分散などを計算できる。モーメント母関数（積率母関数）はその名の通り、モーメント（積率）を生成する関数である。

定義　離散確率変数のモーメント母関数（積率母関数）

確率関数\(\mathrm{Pr}\{X = x_i\}, i=1, 2, \ldots\)をもつ離散確率変数\(X\)のモーメント母関数（積率母関数）は
\begin{align}\label{eq1}M_X(t)= \mathrm{E}[e^{t X}] = \sum_{i=1}^{\infty} e^{t x_i}\mathrm{Pr}\{X=x_i\}\end{align}
で与えられる。

\(\sum_{i=1}^{\infty} e^{t x_i}\mathrm{Pr}\{X=x_i\}\)は\(t\)の関数である。\(M_X(t)\)からモーメントを計算するには以下の手順を用いればよい。確率変数\(X\)のモーメント\(\mu_i\), \(i = 1, 2 , \ldots\)が存在、すなわち期待値を表す積分が存在し、確率関数\(\mathrm{Pr}\{X=x_i\}, i =1,2,\ldots\)は、\(\sum_{i=1}^{\infty} e^{t x_i}\mathrm{Pr}\{X=x_i\}\)が収束するような関数とする。\(e^{z}\)を\(0\)のまわりでデーラー展開すると

\begin{align}e^z = 1 + z +\cfrac{z^2}{2!}+\cfrac{z^3}{3!}+\cdots\end{align}

であるから、モーメント母関数（積率母関数）の定義より

\begin{align}M_X(t) &= \sum_{i=1}^{\infty}\left[1+t x_i +\cfrac{t^2 x_i^2}{2!}+\cfrac{t^3 x_i^3}{3!}+\cdots\right]\mathrm{Pr}\{X=x_i\}\\&=\sum_{i=1}^{\infty}\mathrm{Pr}\{X=x_i\} + t \sum_{i=1}^{\infty}x_i\mathrm{Pr}\{X=x_i\}+\cfrac{t^2}{2!}\sum_{i=1}^{\infty}x_i^2\mathrm{Pr}\{X=x_i\}+\cdots\\\label{eq2}&=1+t\mu_1+\cfrac{t^2}{2!}\mu_2+\cfrac{t^3}{3!}\mu_3+\cdots.\end{align}

である。但し\(\mu_k\)は\(X\)の\(k\)原点周りの次のモーメントである。ゆえに\(k\)階微分を考えることによって、\(\mu_k\)を得ることができる。\(t\)で\(k\)階微分して\(t=0\)で評価する。

\begin{align}\mu_k =\left. \cfrac{d^kM_X(t)}{dt^k}\right|_{t=0}\end{align}

\(M_X(t)\)をその次数と同じ回数だけ微分し、\(t=0\)で評価すれば\(X\)の\(k\)次モーメントを求められる。

連続確率変数のモーメント母関数

連続確率変数に対するモーメント母関数は、次のように定義される。

定義　モーメント母関数

確率密度関数\(f(x)\)をもつ連続確率変数\(X\)のモーメント母関数は、任意の実数\(t\)に対して、次で定義される。\begin{align}M_X(t)=\mathrm{E}[e^{t X}] = \int_{-\infty}^{\infty}e^{t x}f(x)dx.\end{align}

確率変数\(X\)のモーメント\(\mu_i<\infty, i=1,2, \ldots\)が存在し、正則条件の下で、\(e^{t x}\)を展開し項別に積分すると

\begin{align}M_X(t) &= \int_{-\infty}^{\infty}\left[1+t x+\cfrac{t^2 x^2}{2!}+\cfrac{t^3x^3}{3!}+\cdots\right]f(x)dx\\ &=\int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx +t\int_{-\infty}^{\infty} xf(x)dx+t^2\int_{-\infty}^{\infty}x^2f(x)dx+\cdots \\ &=1+t\mu_1+\cfrac{t^2}{2!}\mu_2+\cfrac{t^3}{3!}\mu_3+\cdots.\end{align}

となる。また、連続確率変数\(X\)の関数\(g(X)\)のモーメント母関数を、\(e^{t x}\)を\(e^{t g(x)}\)で置き換えることで定義する。

定義（一般化）　連続確率変数のモーメント母関数

\begin{align}\label{eq3}M_{g(X)}(t)=\mathrm{E}[e^{t g(X)}] = \int_{-\infty}^{\infty}e^{t g(x)}f(x)dx.\end{align}

連続確率変数\(X\)に対して、関数\(g(X)\)のモーメントをモーメント母関数を用いて計算することが可能である。

\(c\)を定数とする。\(h(X)\)のモーメント母関数が存在することを仮定する。このとき、\(g(X)=ch(X)\)とおくことで、

\begin{align}M_{g(X)}(t) &= M_{ch(t)}(t) = \int_{-\infty}^{\infty}e^{t ch(x)}f(x)dx = M_{h(X)}(ct)\end{align}

を得る。\(g(X) = h(X)+c\)とすれば

\begin{align}M_{g(X)}(t) &= M_{h(X)+c}(t)\\&= \int_{-\infty}^{\infty}e^{t\bigl\{h(x)+c\bigr\}}f(x)dx\\&= e^{t c}\int_{-\infty}^{\infty}e^{t h(x)}f(x)dx\\&=e^{t c}M_{h(X)}(t)\end{align}

である。以上より以下の結果を得る。