なぜ0の階乗は1？高校数学で知っておきたい理由と例題・応用
「0の階乗は1と定義される」と学んだとき、「え？なんで？」と思ったことはありませんか？本記事では、その理由を丁寧に説明し、具体的な例題や応用問題まで幅広く紹介します。高校生でもしっかり理解できるように徹底解説します。
目次
階乗とは？基本の定義
まず、階乗（factorial）の定義を確認しましょう。
正の整数 \( n \) に対して、階乗 \( n! \) は次のように定義されます：
\[ n! = n \times (n – 1) \times (n – 2) \times \cdots \times 2 \times 1 \]たとえば、
- \( 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6 \)
- \( 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 \)
階乗は「順列」や「組合せ」といった高校数学の多くの分野で登場します。
なぜ0の階乗は1と定義されるのか
では本題です。なぜ \( 0! = 1 \) なのでしょうか？直感的には、何もかけていないのだから「0」になるような気がするかもしれません。しかし、これは数学的にしっかりとした理由に基づいた定義なのです。
理由①：順列の定義による説明
順列の数を使って考えてみましょう。
「n個のものからr個を選んで並べる方法の数」は、以下の式で表されます：
\[ P(n, r) = \frac{n!}{(n – r)!} \]特に、\( P(n, n) = \frac{n!}{0!} \) です。ここで、並べ方の数は実際に存在していて、
\[ P(3, 3) = 3! = 6 \]です。つまり、
\[ \frac{3!}{0!} = 6 \Rightarrow 0! = 1 \]とならなければ矛盾してしまいます。
理由②：空積（からじょう）という概念
数学では「何もかけない積」を「空積」と呼びます。これは1と定義されています。
なぜなら、積の単位元は1だからです。たとえば：
\[ 2 \times 1 = 2,\quad 2 \times 1 \times 1 = 2 \]と、いくら1をかけても値は変わりません。したがって、「何もかけない＝1をかけたのと同じ」とみなされます。
理由③：数学的帰納法を用いた定義の整合性
階乗の再帰的な定義を見てみましょう：
\[ n! = n \times (n – 1)! \]この定義において、\( 1! = 1 \times 0! \) なので、もし \( 0! = 1 \) でなければ成り立ちません。
このように、0の階乗を1と定義することで、すべての数学的性質がきれいにつながるのです。
例題で理解を深めよう
例題1：順列における0の階乗の役割
5人から5人を選んで並べる方法は何通りあるか？
\[ P(5, 5) = \frac{5!}{(5 – 5)!} = \frac{120}{0!} = \frac{120}{1} = 120 \]ここで \( 0! = 1 \) と定義されていることが、式の整合性に重要です。
例題2：組合せでも登場！
「5個の中から0個選ぶ方法の数」は？
\[ {}_{5}C_{0} = \frac{5!}{0! \cdot (5 – 0)!} = \frac{5!}{0! \cdot 5!} = \frac{120}{1 \cdot 120} = 1 \]ここでも \( 0! = 1 \) が重要な役割を果たしています。
応用：0の階乗が登場する場面
1. 二項定理
二項定理では、組合せ記号が登場し、そこでも \( 0! \) が使われます：
\[ (x + y)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^{n-k} y^k \]特に \( k = 0 \) や \( k = n \) のときに、分母に \( 0! \) が出てきます。
2. 微分や指数関数のテイラー展開
\[ e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} \]ここでも \( n = 0 \) のときに \( 0! = 1 \) を使います。
3. コンピュータサイエンスやアルゴリズム
再帰的な定義や初期条件において、0の階乗が1であることは極めて重要です。
まとめ
- 階乗の定義では \( n! = n \times (n – 1)! \) を使うため、\( 0! = 1 \) は自然な帰結
- 順列・組合せ・二項定理・指数関数展開など、あらゆる場面で使われる
- 空積の考え方からも妥当性がある
0の階乗が1であるという定義は、「都合のいい決めごと」ではなく、数学の深い整合性に基づいた自然な選択なのです。
