【高校数学】チェビシェフの不等式を完全マスター｜基本から応用例まで丁寧解説
目次
チェビシェフの不等式とは？
チェビシェフの不等式は、確率論における重要な不等式の一つで、「平均から大きく外れる値が出る確率」を上から押さえるための道具です。 母集団の分布形状（正規分布かどうかなど）に関係なく成り立つため、非常に汎用的で強力な不等式です。
たとえば「試験の平均点から10点以上離れる人がどのくらいいるか？」を予測する場面で使えます。
基礎：不等式の意味と成り立ち
チェビシェフの不等式は以下のように表されます：
$$ P(|X – \mu| \geq k\sigma) \leq \frac{1}{k^2} $$
- \(X\)：確率変数（試験の点数など）
- \(\mu\)：平均
- \(\sigma\)：標準偏差
- \(k\)：正の定数（どれくらい離れているか）
この不等式は「平均から \(k\sigma\) 以上離れる確率は、最大でも \(1/k^2\) である」という意味です。
簡単な例：
例えば、あるテストの平均点が60点、標準偏差が10点だったとします。このとき、80点以上（または40点以下）になる確率は？
この場合、平均から20点離れているので \(k = 2\) です。したがって：
$$ P(|X – 60| \geq 20) \leq \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4} = 0.25 $$
つまり、80点以上または40点以下になる人の割合は最大でも25%だとわかります。
例題で理解するチェビシェフの不等式
例題1：平均と標準偏差が与えられた場合
あるクラスのテストで、平均点が70点、標準偏差が5点だった。得点が60点未満または80点より大きい人の割合の上限を求めよ。
平均から10点離れている → \(k = \frac{10}{5} = 2\)
$$ P(|X – 70| \geq 10) \leq \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4} = 0.25 $$
このように、全体の25%以下しかその範囲外には存在しません。
例題2：不等式の裏を読む
逆に「平均から2σ以内にどれだけのデータが収まっているか」は次のようにわかります。
$$ P(|X – \mu| < k\sigma) \geq 1 - \frac{1}{k^2} $$
たとえば、\(k = 2\) なら：
$$ P(|X – \mu| < 2\sigma) \geq 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} = 0.75 $$
つまり、データの少なくとも75%は平均から2σ以内にあるといえます。
応用例：実生活やデータ分析での活用
応用1：品質管理
製造業では「製品の寸法が基準からどれくらい外れるか」を管理するために使われます。分布が不明でも「外れ値の上限確率」がわかるため、品質保証の基準設定に便利です。
応用2：試験結果の分析
クラスのテスト結果のばらつきを評価する際、偏差値や分布が不明でも、一定範囲から外れる学生の上限を推定できます。
応用3：保険・リスク管理
損害保険などで「予測不能な損失」が起きる確率を過大評価しないために用いられることもあります。特にリスクが正規分布しないときに有効です。
応用4：データが少ない時の推定
分布の形状がよく分からないときやサンプル数が少ないときに、「確率の上限を保証できる」点でチェビシェフの不等式は重宝されます。
まとめと理解を深めるポイント
- チェビシェフの不等式は、分布の形に依存せずに成り立つ「強力な上限評価ツール」です。
- 「平均からどれだけ外れた値が出るか」の確率上限を与えてくれます。
- 統計・確率だけでなく、品質管理や金融など実生活の幅広い分野で応用されます。
- 数式を覚えるだけでなく、実際の問題に当てはめて活用してみましょう。
この不等式は高校数学の中でも「確率と統計」の応用力を鍛えるうえでとても重要です。実際のデータや日常生活の中に潜む「不確実性」に強くなる一歩として、しっかり理解しておきましょう。
