高校数学を完全攻略！三角関数の和の公式を徹底解説
目次
はじめに：三角関数の和の公式とは？
三角関数の「和の公式」とは、角度の「和」や「差」に関する sin（サイン） と cos（コサイン） の値を、他の角度の三角関数を使って表すための公式です。高校数学で非常に重要であり、微積や物理の問題でも頻出です。
以下のような場面で使われます：
- \(\sin(75^\circ)\) のような特殊角を三角比で求めたいとき
- 三角関数の式を変形したいとき
- 証明問題で角度の加減に対応する必要があるとき
加法定理（和の公式）の紹介
三角関数の和と差に関する基本公式は以下の通りです。
サインの加法定理
\[ \sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta \] \[ \sin(\alpha – \beta) = \sin\alpha\cos\beta – \cos\alpha\sin\beta \]
コサインの加法定理
\[ \cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta – \sin\alpha\sin\beta \] \[ \cos(\alpha – \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta \]
タンジェントの加法定理
\[ \tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 – \tan\alpha\tan\beta} \quad (\tan\alpha\tan\beta \ne 1) \] \[ \tan(\alpha – \beta) = \frac{\tan\alpha – \tan\beta}{1 + \tan\alpha\tan\beta} \quad (\tan\alpha\tan\beta \ne -1) \]
公式の証明
ここでは、サインの加法定理の証明を単位円と直角三角形を使って行います。
単位円を使った証明（sin の加法定理）
単位円上の点を使って、角度 \(\alpha\) および \(\beta\) の回転を考えたときの座標を用いて証明します。
単位円上で、角度 \(\theta\) の点の座標は \((\cos\theta, \sin\theta)\) です。これをベクトル回転により合成すると：
\[ \sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta \]
詳細な図形的証明は図が必要なので、ここでは省略しますが、ベクトルや行列の回転の知識があれば納得しやすいです。
コサインの加法定理の証明（内積を使った方法）
ベクトル \(\vec{A}\), \(\vec{B}\) のなす角を \(\theta\) とすると、内積は以下で表されます：
\[ \vec{A} \cdot \vec{B} = |\vec{A}||\vec{B}|\cos\theta \]
これを利用して、角度の和や差に関する関係式を導きます。詳細は割愛しますが、同様に三角関数の関係を導くことができます。
使い方の例
例1：\(\sin(75^\circ)\) を求める
\[ \sin(75^\circ) = \sin(45^\circ + 30^\circ) \] \[ = \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ \] \[ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \]
例2：\(\cos(15^\circ)\) を求める
\[ \cos(15^\circ) = \cos(45^\circ – 30^\circ) \] \[ = \cos 45^\circ \cos 30^\circ + \sin 45^\circ \sin 30^\circ \] \[ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \]
例3：\(\tan(75^\circ)\) を求める
\[ \tan(75^\circ) = \tan(45^\circ + 30^\circ) \] \[ = \frac{\tan 45^\circ + \tan 30^\circ}{1 – \tan 45^\circ \tan 30^\circ} = \frac{1 + \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 – 1 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} – 1} \] （ここから有理化も可）
よくある間違いと注意点
- 符号ミス：sin は「同符号」、cos は「符号が変わる」に注意
- tan の公式は分母の形に注意：1 – tanαtanβ になる
- 加法定理は順序を入れ替えても良いが、sin は交差、cos は同類項に注目
練習問題
- \(\sin(15^\circ)\) を和の公式を使って求めなさい。
- \(\cos(75^\circ)\) を加法定理で求めなさい。
- \(\tan(45^\circ – 30^\circ)\) を計算しなさい。
まとめ
- 三角関数の和の公式は、三角関数の基本変形に不可欠
- サインは「交差」、コサインは「同類項」に注目
- 公式を使いこなすことで、複雑な角度も扱えるようになる
- 図形・ベクトル・内積の理解も役立つ
これらの公式を理解し、実際の問題で使いこなせるようになれば、数学の実力が大きく伸びます。しっかりと練習して習得しましょう！
