【数学徹底解説】コーシー列とは？収束との違いや具体例をわかりやすく解説
目次
コーシー列の定義
コーシー列（Cauchy列）とは、次のような性質を持つ数列のことです。
数列 \\(\{a_n\}\\) が コーシー列であるとは、 任意の正の数 \\(\varepsilon > 0\\) に対して、ある自然数 \\(N\\) が存在して、 \\[ m, n \geq N \Rightarrow |a_n – a_m| < \varepsilon \\] が成り立つことである。
これは、「列の項同士の距離が十分先に行けばどれだけでも小さくなる」という意味です。
コーシー列の直感的な意味
収束列は「ある値に近づく」列ですが、コーシー列は「列の後半の項同士が互いに近づいている」列です。
言い換えると、コーシー列は「その列自身の中でまとまりつつある」列です。極限の存在を前提とせずに、列の性質を評価することができます。
この考え方は、極限が存在するかどうかまだわからない空間（例えば一般の距離空間）で非常に重要です。
コーシー列の具体例
例1：\\( a_n = \frac{1}{n} \\)
この列は収束列（\\(\lim_{n \to \infty} a_n = 0\\)）です。従ってコーシー列でもあります。
実際、任意の \\(\varepsilon > 0\\) に対して、\\(N > \frac{2}{\varepsilon}\\) とすれば、 \\[ |a_n – a_m| = \left| \frac{1}{n} – \frac{1}{m} \right| \leq \frac{1}{n} + \frac{1}{m} < \varepsilon \\] が成り立ちます（\\(n, m > N\\) のとき）。
例2：\\( a_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k^2} \\)
この列も収束し、したがってコーシー列です。項同士の差を見れば、\\(\frac{1}{n^2}\\) のように小さくなるため、コーシー条件を満たします。
例3：\\( a_n = (-1)^n \\)
この列は収束しません。\\(a_n\\) と \\(a_{n+1}\\) の差が常に 2 なので、コーシー列ではありません。
例4：\\( a_n = \text{小数第}n\text{位までの} \sqrt{2} \\)
たとえば、\\( a_1 = 1.4, a_2 = 1.41, a_3 = 1.414, \ldots \\) という列は、\\(\sqrt{2}\\) に収束します。したがって、これもコーシー列です。
収束列との違い
すべての収束列はコーシー列です。しかし、逆は空間によっては成り立ちません。
たとえば、有理数 \\(\mathbb{Q}\\) の中では、\\(\sqrt{2}\\) に「近づこうとする」コーシー列は存在しますが、その極限が \\(\mathbb{Q}\\) にないため、収束しません。
このような例は「コーシー列だが収束しない」ことを示す代表的なパターンです。
完備性とコーシー列
完備空間（complete space）とは、「すべてのコーシー列が収束する空間」のことです。
例えば、\\(\mathbb{R}\\)（実数全体）は完備空間です。どんなコーシー列も極限を持ちます。
逆に \\(\mathbb{Q}\\)（有理数全体）は完備ではありません。\\(\sqrt{2}\\) に収束するようなコーシー列は存在しますが、その極限は \\(\mathbb{Q}\\) に属さないからです。
この考えにより、「\\(\mathbb{R}\\) は \\(\mathbb{Q}\\) の完備化である」とも言われます。
一般の距離空間でのコーシー列
実数のような空間だけでなく、一般の距離空間（metric space）においてもコーシー列は定義されます。
距離空間 \\((X, d)\\) において、列 \\(\{x_n\} \subset X\\) がコーシー列であるとは、 任意の \\(\varepsilon > 0\\) に対し、ある \\(N\\) が存在して \\[ m, n \geq N \Rightarrow d(x_n, x_m) < \varepsilon \\] となることです。
この一般化により、関数空間やベクトル空間など、より抽象的な空間でも収束の概念を扱えるようになります。
まとめ
- コーシー列とは、列の後半の項が互いに近づく列のこと。
- すべての収束列はコーシー列であるが、その逆は完備空間でのみ成り立つ。
- コーシー列の考え方は、極限の存在を前提とせずに列の性質を調べる手段として非常に重要。
- 実数空間は完備であるが、有理数空間はそうではない。
- 距離空間におけるコーシー列の概念は、現代数学の多くの分野において基礎となる。
