例1：正弦関数 \( \sin x \)

関数 \( f(x) = \sin x \) はすべての実数 \( x \in \mathbb{R} \) に対して定義されており、その値は常に \[ -1 \leq \sin x \leq 1 \] を満たします。したがって、\( |\sin x| \leq 1 \) より、この関数は有界関数です。

例2：定数関数 \( f(x) = c \)

任意の定数 \( c \in \mathbb{R} \) に対して、\( f(x) = c \) は定義域に関係なく有界です。なぜならすべての \( x \) に対して \[ |f(x)| = |c| \] が成り立つからです。

例3：絶対値関数 \( f(x) = \frac{1}{1+x^2} \)

この関数は \( x \in \mathbb{R} \) 上で定義され、最大値は \( x = 0 \) で 1、最小値は無限遠点で 0 に近づきますが超えません。したがって \[ 0 < f(x) \leq 1 \] より有界関数です。

有界でない関数の例

例1：線形関数 \( f(x) = x \)

この関数は \( x \to \infty \) または \( x \to -\infty \) のとき、値も無限に発散するため、有界ではありません。

例2：二次関数 \( f(x) = x^2 \)

定義域が実数全体の場合、\( x^2 \to \infty \) となるため、有界ではありません。ただし、定義域を有限区間 \( [-1, 1] \) に限定すれば \[ 0 \leq x^2 \leq 1 \] となり、有界関数になります。

有界性の応用と重要性

有界性は、数学解析や関数の収束性の議論、積分の収束判定など多くの分野で重要です。例えば、次のような応用があります：

• 関数列の一様収束の判定
• コンパクト性の判定（Heine-Borelの定理）
• 定積分の収束性の判断
• 微積分学における極限の評価

また、数値解析や統計学においても、関数が有界であることはアルゴリズムの安定性や誤差評価の前提条件となることがあります。

まとめ

「有界」であるという性質は、数学における基本かつ非常に重要な概念です。関数や集合が特定の範囲内に収まるかどうかを知ることで、極限、連続性、積分、解析的性質など、多くの問題にアプローチできます。

有界性を見抜く力は、数学的な直感を育てる上で極めて重要です。今後、より複雑な関数や集合を扱う際にも、まずその「有界性」をチェックする癖をつけるとよいでしょう。

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