【数学・統計に役立つ近似手法】スターリングの公式を解説

スターリングの公式は、階乗（n!）を近似するための非常に強力なツールです。特に、確率論や統計学、数値計算、情報理論など様々な分野で頻出します。本記事では、この公式の導出・意味・使い方・応用例まで徹底的に解説します。

スターリングの公式とは？

スターリングの公式とは、大きな数の階乗を近似するための公式です。通常、n! は大きな n に対して爆発的に増加するため、計算や理論的扱いが難しくなります。そこで、このような増加を滑らかに近似できる関数を用意することで、扱いやすくします。

たとえば、確率分布における組み合わせ（nCr）の計算には階乗が現れますが、n が大きい場合、厳密な階乗の計算は難しくなります。スターリングの公式を使えば、計算が簡略化され、理論の理解も深まります。

最もよく使われるスターリングの公式は次の形です：

$$ n! \approx \sqrt{2\pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n $$

これはあくまで「近似」であり、n が大きくなるほど精度が増します。また、対数をとることで次のようにも表せます：

$$ \log(n!) \approx n\log n – n + \frac{1}{2} \log(2\pi n) $$

より高精度のバージョンとして、次のように補正項を追加する形もあります：

$$ n! \sim \sqrt{2\pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n \left(1 + \frac{1}{12n} + \frac{1}{288n^2} – \cdots \right) $$

導出には様々なアプローチがありますが、以下では定積分と自然対数を使った方法を紹介します。

階乗の定義はガンマ関数によって拡張され、次のように書けます：

$$ n! = \int_0^\infty x^n e^{-x} \, dx $$

この式をもとにラプラスの方法（saddle point法）を使って漸近展開すると、スターリングの公式が導出されます。さらに、log(n!) をリーマン和として近似することでも導出可能です。

次のような計算でスターリングの公式が役立ちます：

例1： $ 10! \approx \sqrt{2\pi \cdot 10} \left(\frac{10}{e}\right)^{10} \approx 3598695.6 $（実際の値は3628800）
例2： $ \log(100!) \approx 100 \log 100 – 100 + \frac{1}{2} \log(2\pi \cdot 100) \approx 363.74 $

スターリングの公式は以下のような場面で応用されます：

スターリングの公式は n が小さい場合には誤差が目立ちますが、n > 10 を超えるあたりから非常に高精度になります。補正項を追加することで、より精密な評価も可能です。

スターリングの公式は、数学的に奥が深く、かつ非常に実用的な公式です。階乗の計算を簡略化し、理論の見通しをよくするためのツールとして、確率論・統計学・情報理論などさまざまな分野で活用されています。

特に受験数学や大学初級レベルの統計学・解析学の中でその真価を発揮するため、しっかりと理解しておくと応用範囲が広がります。