目次

• 固有値とは？定義と直感的な意味
• 固有値を求める方程式
• 具体例：2×2行列の固有値
• 具体例：3×3行列の固有値
• 固有値の性質
• 固有値の応用例

固有値とは？定義と直感的な意味

固有値（eigenvalue）とは、線形変換においてベクトルの方向を変えずに、その大きさだけを変えるスカラーのことです。 つまり、ある正方行列 \( A \) とゼロベクトルでないベクトル \( \mathbf{v} \) に対して、次のような関係を満たす数 \( \lambda \) を固有値と呼びます：

\[ A\mathbf{v} = \lambda \mathbf{v} \]

ここで、

• \( A \)：\( n \times n \) の正方行列
• \( \mathbf{v} \)：固有ベクトル（ゼロベクトルではない）
• \( \lambda \)：固有値

つまり、\( A \) によって変換されたベクトル \( A\mathbf{v} \) が、元のベクトル \( \mathbf{v} \) と同じ直線上にある場合、その倍率 \( \lambda \) が固有値になります。

固有値を求める方程式

式 \( A\mathbf{v} = \lambda \mathbf{v} \) を変形すると次のようになります：

\[ (A – \lambda I)\mathbf{v} = \mathbf{0} \]

ここで \( I \) は単位行列です。この式がゼロベクトル以外の \( \mathbf{v} \) に対して成り立つためには、

\[ \det(A – \lambda I) = 0 \]

という条件が必要です。この式を「固有方程式」と呼び、これを解くことで固有値 \( \lambda \) を求めることができます。

具体例：2×2行列の固有値

次の行列の固有値を求めてみましょう：

\[ A = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \]

固有方程式は以下のようになります：

\[ \det(A – \lambda I) = \det \begin{pmatrix} 4 – \lambda & 2 \\ 1 & 3 – \lambda \end{pmatrix} = (4 – \lambda)(3 – \lambda) – 2 \cdot 1 = \lambda^2 – 7\lambda + 10 = 0 \]

この二次方程式を解くと：

\[ \lambda = 5, \quad \lambda = 2 \]

したがって、この行列の固有値は 5 と 2 です。

具体例：3×3行列の固有値

次の行列を考えます：

\[ A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]

このような上三角行列の場合、対角成分がそのまま固有値になります。したがって、固有値は：

\[ \lambda = 2, \quad \lambda = 3, \quad \lambda = 1 \]

このように、特殊な形の行列では固有値の計算が簡単になります。

固有値の性質

固有値にはいくつか重要な性質があります：

• 行列 \( A \) の固有値の積は、行列式 \( \det(A) \) に等しい。
• 固有値の和は、行列 \( A \) のトレース（対角成分の和）に等しい。
• 正方行列が実対称行列である場合、固有値はすべて実数になる。
• 固有値がすべて正なら、行列は正定値行列である。

固有値の応用例

固有値は理論的にも応用的にも非常に重要な概念です。代表的な応用例は以下の通りです：

• 主成分分析（PCA）：データの次元削減手法で、共分散行列の固有値と固有ベクトルを用いる。
• 構造力学：振動解析において、自然振動数を求めるために固有値問題を解く。
• 量子力学：ハミルトニアン行列の固有値がエネルギー準位を表す。
• 微分方程式：連立線形微分方程式の解に固有値が現れる。
• マルコフ連鎖：遷移行列の固有値は、定常状態の分析に役立つ。