群の位数・元の位数とは？定義・具体例・性質をわかりやすく解説
目次
群の位数とは？
群の位数とは、群に含まれる元の個数のことを指します。
群 \( G \) の位数は通常 \( |G| \) と書かれます。
例えば、整数全体の加法群 \( (\mathbb{Z}, +) \) は無限に元があるため、無限群です。
一方、4つの元をもつ群なら、位数4の群と呼びます。
元の位数とは？
群 \( G \) の元 \( a \in G \) に対して、自然数 \( n \) で \[ a^n = e \] を満たす最小の正の整数 \( n \) を、元 \( a \) の位数（order）と呼びます。ここで \( e \) は単位元です。
もしそのような正の整数 \( n \) が存在しなければ、元 \( a \) は無限位数を持つと言います。
具体例で学ぶ位数
1. 加法群 \( (\mathbb{Z}_6, +) \)
元は \( \{0, 1, 2, 3, 4, 5\} \)。演算は「6で割った余りによる加算」。
- \( 0 \) の位数は 1（常に単位元）
- \( 2 \) の位数： \( 2+2+2 = 6 \equiv 0 \mod 6 \) → 位数は 3
- \( 3 \) の位数： \( 3+3 = 6 \equiv 0 \mod 6 \) → 位数は 2
2. 乗法群 \( (\mathbb{Z}_7^\times, \cdot) \)
\( \mathbb{Z}_7^\times = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \)、演算は法7における乗法。
- \( 3 \) の位数は 6：\( 3^6 \equiv 1 \mod 7 \)
- \( 2 \) の位数は 3：\( 2^3 = 8 \equiv 1 \mod 7 \)
3. 対称群 \( S_3 \)
元の個数は6。よって群の位数は6。元の例：
- 恒等置換 \( e \)：位数 1
- 2文字の交換 \( (1\ 2) \)：位数 2
- 3サイクル \( (1\ 2\ 3) \)：位数 3
位数に関する性質
- 有限群 \( G \) の元 \( a \in G \) の位数は、必ず群の位数 \( |G| \) の約数になる（ラグランジュの定理）。
- 位数が素数 \( p \) の群は、任意の非単位元が位数 \( p \) を持ち、巡回群になる。
- 有限生成アーベル群では、すべての元の位数の情報が構造を決定づける。
- 元 \( a \) の生成する部分群 \( \langle a \rangle \) の位数は、元 \( a \) の位数と一致する。
まとめ
群の位数は「群全体の大きさ」、元の位数は「その元がどれだけ繰り返されると単位元になるか」を表します。
具体例を通じて、位数が群論の理解に不可欠であることがわかります。抽象代数学を学ぶ上で、これらの概念は基礎中の基礎です。
