固有値に関するフロベニウスの定理

このページでは、固有値に関するフロベニウスの定理とその証明について詳細に解説します。フロベニウスの定理は、特に行列の固有値の性質を扱う重要な定理で、線形代数や数値解析などの分野で非常に重要です。

フロベニウスの定理とは

フロベニウスの定理（Frobenius theorem）は、特に実数行列における固有値の性質に関する定理です。この定理は、行列が固有値を持つかどうかを判定する方法において重要な役割を果たします。また、行列の固有値がすべて実数である場合に適用される特別なケースがあります。

フロベニウスの定理は、実数行列に対して以下のように表現されます。

実数行列 $ A $ がサイズ $ n \times n $ の行列であり、$ A $ が対称行列であるとき、$ A $ の固有値はすべて実数です。また、行列 $ A $ の固有値は、固有ベクトルを通じてその行列の特性を反映する重要な指標となります。

フロベニウスの定理の証明は、行列の固有値問題における基本的な理論を利用します。以下はその簡単な証明です。

1. 行列 $ A $ が対称行列であると仮定します。

2. 対称行列の固有値問題は、線形代数の基本的な方法で解くことができます。

3. 行列の固有値 $ \lambda $ は、次の固有値方程式を解くことで求めることができます：

$$ \det(A – \lambda I) = 0 $$

ここで、$ \lambda $ は固有値、$ I $ は単位行列です。

4. 対称行列の固有値は常に実数であることが知られており、実際には次のように証明できます：

対称行列に対して、その固有ベクトルは直交する性質を持ち、実数解を持つため、固有値はすべて実数になります。

次に、具体的な行列を使ってフロベニウスの定理の適用例を示します。

行列 $ A $ を次のように定義します：

$$ A = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} $$

この行列の固有値を求めるために、次の固有値方程式を解きます：

$$ \det(A – \lambda I) = \det\begin{pmatrix} 4-\lambda & 1 \\ 1 & 3-\lambda \end{pmatrix} = 0 $$

展開して得られる二次方程式は：

$$ (\lambda^2 – 7\lambda + 11) = 0 $$

この方程式の解は、実数であり、固有値は $ \lambda_1 = 5 $ および $ \lambda_2 = 2 $ です。

フロベニウスの定理は、実数行列の固有値が実数であることを保証します。この性質は、物理学、工学、経済学などの多くの分野で非常に重要です。例えば、振動問題や最適化問題において、行列の固有値が実数であることを確認することは、問題を解決するための鍵となります。

特に、行列のスペクトル分析やポテンシャル解析など、固有値問題を扱う数値解析の分野では、この定理が不可欠です。