スカラー行列とは

スカラー行列とは、正方行列の一種で、主対角線上の要素がすべて同じ定数 \( a \) であり、それ以外の要素がすべて 0 である行列を指します。数学的には、次のように表されます：

\[ A = \begin{bmatrix} a & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a \end{bmatrix} \]

このような行列は、単位行列 \( I_n \) に定数 \( a \) を掛けた形、すなわち \( A = aI_n \) としても表現できます。

スカラー行列の性質

• 対称性：スカラー行列は対称行列であり、転置しても元の行列と変わりません。
• 可換性：任意の同じ次元の正方行列 \( B \) に対して、\( AB = BA \) が成り立ちます。
• 行列式：スカラー行列の行列式は、対角要素 \( a \) の \( n \) 乗、すなわち \( \det(A) = a^n \) です。
• 逆行列：対角要素 \( a \) が 0 でない場合、逆行列 \( A^{-1} \) は \( \frac{1}{a}I_n \) となります。
• 対角行列の特別な場合：スカラー行列は、すべての対角要素が同じ値を持つ対角行列の特別なケースです。

具体例と応用

いくつかのスカラー行列の例を示します。

• 2次のスカラー行列： \[ \begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix} \]
• 3次のスカラー行列： \[ \begin{bmatrix} -2 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \end{bmatrix} \]
• 4次のスカラー行列： \[ \begin{bmatrix} 5 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 5 \end{bmatrix} \]

スカラー行列は、線形代数や行列の演算において、特に行列のスカラー倍や行列の可換性の検証などで重要な役割を果たします。

他の行列との比較

行列の種類	対角要素	非対角要素	例
スカラー行列	すべて同じ定数 \( a \)	すべて 0	\[ \begin{bmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 4 \end{bmatrix} \]
対角行列	任意の値	すべて 0	\[ \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix} \]
単位行列	すべて 1	すべて 0	\[ \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \]

練習問題

1. 次の行列がスカラー行列であるか判断し、理由を説明してください： \[ \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix} \]
2. スカラー行列 \( A = 3I_2 \) の逆行列を求めてください。
3. 任意の 2次正方行列 \( B \) に対して、スカラー行列 \( A = 5I_2 \) と \( B \) の積 \( AB \) と \( BA \) が等しいことを示してください。