回転群（特殊直交群）は、数学や物理学、コンピュータグラフィックスなど多くの分野で重要な役割を果たします。本記事では、回転群の定義から性質、具体例、応用例まで詳しく解説します。

目次

• 回転群の定義
• 回転群の性質
• 具体的な例
• 応用例

回転群の定義

回転群は、線形代数における直交行列の中で、行列式が1のものから構成される群です。

直交群 O(n)

n次元の直交群 O(n) は、次のように定義されます：

\[ \mathrm{O}(n) = \{ A \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{R}) \mid A A^\top = I_n \} \]

ここで、\( \mathrm{GL}_n(\mathbb{R}) \) は n 次の可逆行列全体の集合、\( A^\top \) は A の転置行列、\( I_n \) は n 次の単位行列です。

回転群 SO(n)

直交群 O(n) の中で、行列式が1のものからなる部分群を回転群 SO(n) と呼びます：

\[ \mathrm{SO}(n) = \{ A \in \mathrm{O}(n) \mid \det A = 1 \} \]

この群は、n次元空間での回転操作を表現します。

回転群の性質

1. SO(n) は O(n) の正規部分群

SO(n) は O(n) の正規部分群であり、商群 O(n)/SO(n) は次のようになります：

\[ \mathrm{O}(n)/\mathrm{SO}(n) \cong \{\pm 1\} \]

これは、O(n) の各要素の行列式が ±1 であることに対応しています。

2. SO(2) の構造

2次元の回転群 SO(2) は、角度 θ による回転行列から構成されます：

\[ R_\theta = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} \]

このような行列は、原点を中心とした平面上の回転を表します。

具体的な例

SO(2) の例

角度 \( \theta = \frac{\pi}{4} \) の回転行列：

\[ R_{\pi/4} = \begin{pmatrix} \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) & -\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) \\ \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) & \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \]

SO(3) の例

z軸周りの角度 θ の回転行列：

\[ R_z(\theta) = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & 0 \\ \sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]

この行列は、3次元空間での z軸周りの回転を表します。

応用例

物理学

回転群は、物理学において対称性の解析に重要です。特に、量子力学では粒子のスピンや角運動量の記述に使用されます。

コンピュータグラフィックス

3D モデルの回転や視点の変更など、コンピュータグラフィックスにおける多くの操作は、回転行列を用いて実現されます。

ロボティクス

ロボットの関節の動きや姿勢制御には、回転群の理論が活用されます。特に、SO(3) はロボットアームの3次元空間での動作解析に不可欠です。